Mengenlehre: Implikationen, Aussagen, Wahrheitstabelle

29.10.2010, 13:35

greg121

Mengenlehre: Implikationen, Aussagen, Wahrheitstabelle

Sei M eine nicht-leere Menge und seien P(x) und Q(x) Aussageformen.
Welche der folgenden Aussagen stimmen immer und welche nicht?

$\begin{eqnarray*} (\forall x \in M : P(x)) \wedge (\forall x \in M : Q(x)) \Rightarrow (\forall x \in M : P(x) \wedge Q(x)) \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich das ganze begründen. Außerdem entnehme ich meinem Skript folgende Wahrheitstabelle für Implikationen: link

durch überlegen, habe ich rausgefunden, dass die Aussage immer wahr sein sollte. Kann mir jemand sagen, wie man das am besten aufschreibt?

Wenn A falsch ist, dann ist die Implikation immer wahr und wenn A und B wahr sind, dann ist die Implikation auch wahr. Ich finde keinen Fall, wo A wahr und B falsch ist, um die Implikation falsch zu machen. Wäre sowas eine angebrachte Begründung?

Danke

29.10.2010, 13:44

Mazze

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Zitat:

Wenn A falsch ist, dann ist die Implikation immer wahr und wenn A und B wahr sind, dann ist die Implikation auch wahr. Ich finde keinen Fall, wo A wahr und B falsch ist, um die Implikation falsch zu machen. Wäre sowas eine angebrachte Begründung?

Du musst schon sagen was A und B sind, und warum B nicht unwahr sein kann, wenn A wahr ist.

Ich würde so vorgehen :

$\begin{eqnarray*} A = \forall x \in M : P(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B = \forall x \in M : Q(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C = \forall x \in M : Q(x) \land P(x) \end{eqnarray*}$

Dann willst Du wissen ob $\begin{eqnarray*} (A \land B) \Rightarrow C \end{eqnarray*}$ eine Tautologie ist. Nun, der einzig interessante Fall ist, wenn A und B wahr ist, weil ansonsten ist die Implikation sowieso schon wahr. Wenn also A und B wahr ist, ist dann C auch wahr?

29.10.2010, 17:32

greg121

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okay ich hatte das so verstanden:

$\begin{eqnarray*} A = (\forall x \in M : P(x)) \wedge (\forall x \in M : Q(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B = (\forall x \in M : P(x) \wedge Q(x)) \end{eqnarray*}$

und soll zeigen dass $\begin{eqnarray*} A \Rightarrow B \end{eqnarray*}$ immer wahr ist.

29.10.2010, 17:54

Mazze

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Macht keinen Unterschied.

29.10.2010, 19:38

greg121

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Zitat:

Nun, der einzig interessante Fall ist, wenn A und B wahr ist, weil ansonsten ist die Implikation sowieso schon wahr. Wenn also A und B wahr ist, ist dann C auch wahr?

ja C ist dann auch wahr. nur frag ich mich wie man sowas am besten zu blatt bringt

irgendwie steht doch schon alles da.

29.10.2010, 22:07

Mazze

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Zunächst sagst Du, wie gehabt, das der einzig interessante Fall ist, dass A und B wahr sind. Und wenn schon für alle x P(x) gilt und für alle x Q(x) gilt, dann ist die Konjunktion P(x) ^ Q(x) auch für alle x wahr. Fertig

29.10.2010, 23:01

greg121

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dankeschön, auch für die geduld mit mir smile

01.11.2010, 22:30

peter3

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warum ist eigentlich der einzig interessante fall, dass A und B wahr sind?
gibts da ne erklärung?

02.11.2010, 06:42

Mazze

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Schau Dir mal die Wahrheitswert Tabelle an. Wenn A oder B falsch sind, dann ist die Prämisse der Implikation falsch, und damit ist die Implikation stets wahr.

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