Induktion und Binomialkoeffizient

29.10.2010, 17:24

hnky

Induktion und Binomialkoeffizient

hallo,

folgende aufgabe beschäftigt mich gerade:

Zitat:

Zeige, dass für alle $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^m \binom{n-1+k}{n-1} = \binom{n+m}{n} \end{eqnarray*}$

um zu zeigen, dass die aussage für alle m gilt, habe ich induktion benutzt:

(IA) ist klar.

(IS)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{m+1} \binom{n-1+k}{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=0}^{m} \binom{n-1+k}{n-1}+\binom{n-1+m+1}{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\binom{n+m}{n}+\binom{n+m}{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\binom{n+m+1}{n} \end{eqnarray*}$

das ganze war auch nicht weiter schwierig und ich hoffe, ich habe hier keinen fehler eingebaut.

muss ich nun auch noch zeigen, dass die aussage auch für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt, oder bin ich an diesem punkt bereits fertig?

und wenn ja, wie mache ich das am geschicktesten? noch einmal induktion?

danke schonmal im voraus.

30.10.2010, 17:27

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

ich habe nun herausgefunden, was noch fehlte.

es war der beweis zum letzten schritt im induktionsschritt, den wir in der vorlesung nicht hatten, und der wohl hier erfolgen soll.

30.10.2010, 17:28

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt, es ist jetzt alles klar oder was ist die konkrete Frage?

30.10.2010, 17:32

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

das heißt, es ist jetzt alles klar smile

Neue Frage »

Antworten »

Induktion und Binomialkoeffizient

Verwandte Themen