Beweis der vollständigen Induktion für die Summe der Kubikzahlen

29.10.2010, 20:34

Mirko17

Beweis der vollständigen Induktion für die Summe der Kubikzahlen

Hallo ,

Ich bin in der 11. Klasse und habe LK Mathe. Wir haben in der letzten Stunde den Beweis der vollständigen Induktion gemacht und dazu Hausaufgaben bekommen. Wir haben den Beweis folgendermaßen gemacht:

1. Induktionsanfang:
Zeige, dass die Behauptung für n=1 gilt

2. Induktionsbehauptung:
Nimm an, die Behauptung gilt für ein beliebiges n
3. Induktionsschluss:
Zeige, dass die Behauptung dann auch für n+1 gilt.

Nun sollen wir den Beweis auf Reihen anwenden:

Beweise:

Sn = 1^3+2^3+3^3....+n^3= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ *n^2*(n+1)^2

So nun 1. gilt ja, das brauch ich ja nicht nochmal hinschreiben.
2. Die obige Behauptung sei wahr für beliebiges n
3.
n $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ n+1

dann hat man links, wenn man es ausrechnet:
Sn+1= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ *n^2*(n+1)^2 +(n+1)^3

und rechts:
Sn+1= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ *(n+1)^2 * (n+2)^2

So und da komm ich nicht weiter, ich muss entweder rechts oder links das umformen, dass ich auf das jeweils andere komme. Stehe aber leider grad en bisschen auf dem Schlauch und bekomm das nicht hin. Fände es super, wenn mir da jemand helfen könnte und ich bedanke mich schon mal im Vorraus!!!!

29.10.2010, 20:45

wisili

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RE: Beweis der vollständigen Induktion für die Summe der Kubikzahlen
Du könntest die beiden Terme gleichsetzen (als Behauptung).
Dann formst du diese Gleichung äquivalent um, bis sie offensichtlich allgemeingültig ist.

29.10.2010, 20:50

corvus

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RE: Beweis der vollständigen Induktion für die Summe der Kubikzahlen

Zitat:

Original von Mirko17

1. Induktionsanfang:
Zeige, dass die Behauptung für n=1 gilt

2. Induktionsbehauptung:
Nimm an, die Behauptung gilt für ein beliebiges n
3. Induktionsschluss:
Zeige, dass die Behauptung dann auch für n+1 gilt.

Beweise:

$\begin{eqnarray*} Sn = 1^3+2^3+3^3....+n^3= \frac{1}{4}*n^2*(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

So nun 1. gilt ja, das brauch ich ja nicht nochmal hinschreiben.
2. Die obige Behauptung sei wahr für beliebiges n
3.
n $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ n+1

dann hat man links, wenn man es ausrechnet:
Sn+1= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ *n^2*(n+1)^2 +(n+1)^3

und rechts:
Sn+1= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ *(n+1)^2 * (n+2)^2

mal im Vorraus! verwirrt

!!!

so:
wenn
$\begin{eqnarray*} Sn = 1^3+2^3+3^3....+n^3= \frac{1}{4}*n^2*(n+1)^2 \end{eqnarray*}$
richtig ist, dann ist auch dies richtig:
$\begin{eqnarray*} S_{n+1} = 1^3+2^3+3^3....+n^3 +(n+1)^3= \frac{1}{4}*n^2*(n+1)^2 +(n+1)^3 \end{eqnarray*}$

und nun musst du nur noch zeigen, dass du durch geschicktes Umformen
Schritt für Schritt aus
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*n^2*(n+1)^2 +(n+1)^3 \end{eqnarray*}$
das erwartete Ergebnis , nämlich
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*(n+1)^2*(n+2)^2 \end{eqnarray*}$
herleiten kannst bzw. bekommst.

versuchs mal:...

30.10.2010, 10:05

Mirko17

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RE: Beweis der vollständigen Induktion für die Summe der Kubikzahlen

Zitat:

Original von corvus
[quote]Original von Mirko17

so:
wenn
$\begin{eqnarray*} Sn = 1^3+2^3+3^3....+n^3= \frac{1}{4}*n^2*(n+1)^2 \end{eqnarray*}$
richtig ist, dann ist auch dies richtig:
$\begin{eqnarray*} S_{n+1} = 1^3+2^3+3^3....+n^3 +(n+1)^3= \frac{1}{4}*n^2*(n+1)^2 +(n+1)^3 \end{eqnarray*}$

und nun musst du nur noch zeigen, dass du durch geschicktes Umformen
Schritt für Schritt aus
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*n^2*(n+1)^2 +(n+1)^3 \end{eqnarray*}$
das erwartete Ergebnis , nämlich
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*(n+1)^2*(n+2)^2 \end{eqnarray*}$
herleiten kannst bzw. bekommst.

versuchs mal:...

ok also:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*n^2*(n+1)^2 +(n+1)^3 \end{eqnarray*}$
wenn ich davon die Klammern auflöse bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*(n^4+2n^3+n^2+n^3+3n^2+3n+1) \end{eqnarray*}$
und wenn ich das jetzt noch vereinfacht schreibe:
$\begin{eqnarray*} \frac {1}{4}*(n^4+3n^3+3n^2+3n+1) \end{eqnarray*}$

Aber ist das so richtig? Das ist ja immer noch nicht das Ergebnis, muss ich also wirklich die Klammern so auflösen?

30.10.2010, 13:05

corvus

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RE: Beweis der vollständigen Induktion für die Summe der Kubikzahlen

Zitat:

Original von Mirko17

..
ok also:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*n^2*(n+1)^2 +(n+1)^3 \end{eqnarray*}$

wenn ich davon die Klammern auflöse bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*(n^4+2n^3+n^2+n^3+3n^2+3n+1) \end{eqnarray*}$

muss ich also wirklich die Klammern so auflösen?

nein, ganz im Gegenteil:
du kannst dir merken, dass bei solchen Aufgaben nach Möglichkeit
ausgeklammert wird (..du willst ja nachher als Ergebnis wieder ein Produkt..)

also
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*n^2*(n+1)^2 +(n+1)^3 = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*(n+1)^2 *[ ....?... ] \end{eqnarray*}$

und den Term, der nun in der eckigen Klammer herumstehen wird,
den kannst du dann doch sicher im nächsten Schritt auf die gewünschte
Form bringen .. oder? smile

30.10.2010, 19:39

Mirko17

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Zitat:

Original von corvus
[quote]Original von Mirko17

also
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*n^2*(n+1)^2 +(n+1)^3 = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*(n+1)^2 *[ ....?... ] \end{eqnarray*}$

und den Term, der nun in der eckigen Klammer herumstehen wird,
den kannst du dann doch sicher im nächsten Schritt auf die gewünschte
Form bringen .. oder? smile

Also in der Klammer habe ich dann doch:

$\begin{eqnarray*} [n^2+(n+1)] \end{eqnarray*}$ und das ist doch dann nur $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} (n+2)^2 \end{eqnarray*}$ verwirrt

30.10.2010, 19:51

klarsoweit

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RE: Beweis der vollständigen Induktion für die Summe der Kubikzahlen
Bevor du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*(n+1)^2 \end{eqnarray*}$ ausklammerst, ist es vorteilhaft, eine kleine Umformung zumachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*n^2*(n+1)^2 +(n+1)^3 = \frac{1}{4}*n^2*(n+1)^2 +\frac 1 4 \cdot 4 (n+1)^3 \end{eqnarray*}$

Dann klappt das auch mit dem Ausklammern.

30.10.2010, 19:59

Mirko17

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RE: Beweis der vollständigen Induktion für die Summe der Kubikzahlen

Zitat:

Original von klarsoweit
Bevor du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*(n+1)^2 \end{eqnarray*}$ ausklammerst, ist es vorteilhaft, eine kleine Umformung zumachen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}*n^2*(n+1)^2 +(n+1)^3 = \frac{1}{4}*n^2*(n+1)^2 +\frac 1 4 \cdot 4 (n+1)^3 \end{eqnarray*}$

Dann klappt das auch mit dem Ausklammern.

Ah ok, ich dachte mir schon, dass ich den 2. Term auch mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ multiplizieren muss und erweitern, da ich das ja die ein viertel auch als Bruch schreiben kann und dann den 2. Term ja auch zum Bruch machen muss. smile

So nun hab ich es auch raus, vielen Danke an alle, die mir geholfen haben. smile

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