periodische Stammfunktion einer nicht periodischen stetigen Funktion

30.10.2010, 11:18	malka	Auf diesen Beitrag antworten »
periodische Stammfunktion einer nicht periodischen stetigen Funktion Meine Frage: Die Frage ist, ob es für eine nicht periodische stetige Funktion eine periodische Stammfunktion existiert? (im 1-dimensionalen, also in R) Meine Ideen: VORGESCHICHTE DES PROBLEMS: In meinem Skript steht, dass die Gleichung f''=g mit 2pi-periodischen Randbedingungen und 2pi-periodischer rechten Seite sich nur dann lösen lässt, wenn $\begin{eqnarray} \int_p^{p+2\pi} \! g(t) \, dt = 0 \end{eqnarray}$ (Bed.1). Das ist genau die Bedingung, die garantiert, dass eine periodische Funktion eine periodische Stammfunktion besitzt. man startet mit g -> sucht ihre Stammfunktion G, erstattet mit der Bed.1, so dass G 2pi-periodisch ist, G ist immer noch bis auf eine Konstante definiert und dann ändert man G mit einer Konstante ab, so dass Bed.1 bzgl G erfüllt ist, also $\begin{eqnarray} \int_p^{p+2\pi} \! G(t) \, dt = 0 \end{eqnarray}$ . Auf solcher Weise bekommt man die 2pi-periodische Lösung der Gleichung. ABER: g ist 2pi-periodisch -> G ist nicht 2pi-periodisch -> GG (Stammfunktion von G) ist wiederum 2pi-periodisch, diesen Zweig hat man im Beweis nicht berücksichtigt. EIGENTLICH DIE FRAGE: ob es so etwas vorkommen kann...
30.10.2010, 12:55	malka	Auf diesen Beitrag antworten »
Idee für den Beweis: meine Idee ist die Folgende: ich wäre froh, wenn ihr das kontrollieren könnt. Gegeben ist g 2pi-periodisch, G ist Stammfunktion von g und GG ist ihrerseits - Stammfunktion von G. z.z. g ist 2pi-periodisch, G ist nicht 2pi-periodisch => GG ist auch nicht 2pi-periodisch. Beweis. G ist nicht 2pi-periodisch heißt, dass es existiert ein Punkt t aus R, s.d. $\begin{eqnarray} G(t+2\pi) \neq G(t) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \int_t^{t+2\pi} {g(\theta)d\theta}\neq 0 \end{eqnarray}$ für diesen t. Aber $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ -periodisch und Wert des Integrals über die Periodenlänge hängt nicht vom Anfangspunkt $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ab. Also das Wert von $\begin{eqnarray} \int_t^{t+2\pi} {g(\theta)d\theta} \end{eqnarray}$ ist immer dasselbe (z.B. $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ ), für alle t. D.h. aber, dass $\begin{eqnarray} G(t+2\pi) - G(t)=k \end{eqnarray}$ oder es gilt: $\begin{eqnarray} G(t+2\pi) = G(t)+k \end{eqnarray}$ für alle t. Nun führen wir den Wiederspuchsbeweis, also wir nehmen an, dass GG 2pi-periodisch ist. Dann $\begin{eqnarray} GG(t+2\pi)=GG(t) \end{eqnarray}$ für alle t. Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray} \int_t^{t+2\pi} {G(\theta)d\theta}=0 \end{eqnarray}$ (1) für alle t. Nun $\begin{eqnarray} 0=\int_t^{t+2\pi} {G(\theta)d\theta}=\int_t^{t+2\pi} {(G(\theta-2\pi)+k) d\theta}=\int_t^{t+2\pi} {G(\theta-2\pi)d\theta}+2\pi k =\int_{t-2\pi}^t {G(\theta')d\theta'}+2\pi k =(mit der (1) Integral über die Periodenlänge ist wiederum Null ) =2\pi k, \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \theta'=\theta-2\pi \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ und daher ist $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ 2pi-periodisch, aber nach Voraussetzung G ist nicht periodisch. Also Widerspruch. I
30.10.2010, 13:00	malka	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Idee für den Beweis: Eigentlich habe ich hier mehr benutzt als im Überschrift steht. (g ist periodisch). Ohne diesen Bedingung gibt es wahrscheinlich Beispiele zu periodischen Stammfunktionen von nicht periodischen Funktionen... Das ist hier nicht relevant für die Aufgabe. Aber trotzdem wäre interessant zu wissen..
30.10.2010, 13:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Im wesentlichen scheint mir die Argumentation zu stimmen, zumindest am Anfang. Den Schluß kann man dann nicht mehr lesen. Aber du machst es dir unnötig kompliziert. Wenn eine in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ die Periode $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ besitzt, also $\begin{eqnarray} F(x+p) = F(x) \end{eqnarray}$ gilt, dann folgt durch Differenzieren (links die Kettenregel beachten): $\begin{eqnarray} F'(x+p) = F'(x) \end{eqnarray}$ Kurzum: $\begin{eqnarray} F \ \text{periodisch} \ \ \Rightarrow \ \ F' \ \text{periodisch} \end{eqnarray}$ Und davon die Kontraposition: $\begin{eqnarray} F' \ \text{nicht periodisch} \ \ \Rightarrow \ \ F \ \text{nicht periodisch} \end{eqnarray}$
30.10.2010, 13:36	malka	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, stimmt! danke vielmals, Leopold! aber das ist interessant. d.h. ich hätte wahrscheinlich mit meiner komplizierten Methode die Aussage zeigen können, ohne Periodizität von g zu benutzen...

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