A und B berechnen im Dreieck

30.10.2010, 12:13

syn+

A und B berechnen im Dreieck

Gegeben sind der Punkt C (0/0) und die Grade g: y=0,5x - 4.
Die gesuchten Punkte A und B liegen so auf der Gerade g, dass gilt:
[AC] = [BC] und der Winkel zwischen [AC] und [BC] ist genau 135 Grad.

Gesucht sind die Koordinaten von A und B.
Ich habe auch eine kleine Skizze gemacht.

Wie ist hier der Ansatz für die Rechnung??

30.10.2010, 13:59

corvus

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RE: A und B berechnen im Dreieck

Zitat:

Original von syn+
Gegeben sind der Punkt C (0/0) und die Grade g: y=0,5x - 4.
Die gesuchten Punkte A und B liegen so auf der Gerade g, dass gilt:
[AC] = [BC] und der Winkel zwischen [AC] und [BC] ist genau 135 Grad.

Gesucht sind die Koordinaten von A und B.

eine Möglichkeit ist zB:

1) ermittle auf g den Höhenfusspunk H der Höhe h= CH
rechne zB nach, ob das stimmt: H( 8/5 ; -16/5 )

2) berechne dann h=...

3) nun kannst du noch die Länge der Strecke AH= r berechnen
Tipp:
es ist h / r= tan(22,5°)
.. also h / r = [sqrt(2) -1] ,
.. also r = ..?..

4) wenn du jetzt den Kreis um H mit Radius r schneidest mit g,
dann hast du mit diesen Schnittpunkten deine beiden Punkte A und B.

ok?

30.10.2010, 17:15

Leopold

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Eine Alternative: Für den spitzen Schnittwinkel $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ zweier nicht orthogonaler Geraden mit den Steigungen $\begin{eqnarray*} m_1,m_2 \end{eqnarray*}$ gilt bekanntlich

$\begin{eqnarray*} \tan \delta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right| \end{eqnarray*}$

Die Gerade $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ hat die Steigung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , die Gerade $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ habe die Steigung $\begin{eqnarray*} m > \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Die Geraden schneiden sich unter 22,5°. Wegen $\begin{eqnarray*} \tan 22{,}5^{\circ} = \sqrt{2} - 1 \end{eqnarray*}$ gilt daher:

$\begin{eqnarray*} \frac{m - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2} m} = \sqrt{2} - 1 \end{eqnarray*}$

Aus dieser Gleichung kann $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ berechnet wird. Und $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ erhält man als Schnittpunkt der Geraden $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ .

31.10.2010, 12:50

syn+

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Danke corvus & Leopold!

Mit all den Formeln hab ich auch jongliert, aber ich hatte den Schnittwinkel der geraden g und [AC] ausser Acht gelassen und als Unbekannte behandelt.
Deswegen wars so schwierig.....
Freude

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