stetiger Punkt von Parabel und Kreis

Neue Frage »

Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »
stetiger Punkt von Parabel und Kreis
Meine Frage:
Hallo zusammen:

folgendes Problem macht mir Kopfzerbrechen:

In einem Koordinatensystem verläuft eine Parabel: f(x)= 0.003243x^2 +0.007628x+0.064
Im selben Koordinatensystem sind zwei Punkt angegeben P1=(6/0.227) und P2=(7/0.25)
Die Parabel verläuft durch Punkt P1.
Nun such ich einen Kreis, der durch P1 und P2 verläuft. Bedingung ist hierbei, dass die Steigung von Parabel und Kreis in P1 gleich sind. Zudem muss der Kreis in P2 die Steigung null haben. Mir mach die allgemeine Kreisdefinition zu schaffen. Eind Skizze ist im Anhang.
Bin für jeden Tipp dankbar.
Danke schon mal im Voraus.

Meine Ideen:
Die Lösung muss über die Bedingungen möglich sein. Steigung von Parabel und Kreis müssen in P1 gleich sein. Die Steigung in P2 vom Kreis muss null sein.
Zusätzlich muss die Ich bin mir nicht ganz sicher wie die allgemeine Kreisfunktion eines Kreises der nicht mit dem Mittelpunkt im Ursprung liegt aussieht. Zusätzlich bin ich am zweifeln, ob das ganze so überhaupt möglich ist, ohne den Punkt P1 variabel zu gestalten. Wenn dem so wäre, dann würde sich aud die Parabelfunktion ändern, da diese zuvor die mit der Bedingung P1 = (6/0.227) ermittelt wurde.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetiger Punkt von Parabel und Kreis
Du stellst zuviele Bedingungen. Im Allgemeinen gibt es einen solchen Kreis nicht.
Entweder hat P2 keine horizontale Tangente oder du musst bei P1 einen Knick in Kauf nehmen.
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetiger Punkt von Parabel und Kreis
Hallo,
danke für deine Antwort, das hab ich fast gedacht. Aber wenn ich doch die Y-Koordinate von P1 variabel mache und nur die x-Koordinate festlege, dann müsste es doch funktionieren, oder?
Gruß
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetiger Punkt von Parabel und Kreis
Nein, y ist mittels f durch x bestimmt. Aber wenn du den Punkt P1 überhaupt variabel (auf Graph f) machst, sollte es gehen.

[attach]16403[/attach]

(Kreise mit Radien 2.5, 5, 10, 20, 40. Die Parabel erscheint rot.)

Für Berührung gilt r = 21.30109309324329 (berechnet mit Mathematica) und

P1=(6.008467952308799,0.22691036491552025).

Das kommt deinem ursprünglichen Punkt P1 äusserst nahe.
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetiger Punkt von Parabel und Kreis
Hallo,
Danke!!!

Ich habs noch nicht ganz versanden.
Heisst das, ich muss wenn ich die Parabel definiere (durch drei Punkte) den Punkt P1 variabel lassen? Vielleicht als Anmerkung noch, ich möchte das ganze mit Mathcad abbilden (falls du das Programm kennst). Ich hätte dann ja nur einen Fixpunkt für die Parabel der bekannt ist. Die gesamte Funktion (Kreis + Parabel ) soll von X=-7 bis x = +7 verlaufen. Der Punkt ganz links (x=-7) ist bekannt (mit x und y Koordinaten). Eine weitere Bedingung ist, dass ich den Y-Wert vom Scheitelunkt definiere ( in meinem Bsp ist das 0.06). Kann ich denn dann jetzt alle Bedingungen und Gleichungen aufstellen und am Ende erhahlte ich den Radius, die Parabelfunktion und die Kreisfunktion? Ziel ist es am Ende, dass ich alle Punkt abfragen kann (y-Wert an jeder Stelle, für Parabel und Kreis). Wäre dir wirklich dankbar falls du mir noch einen Tipp hättest. Vielen Dank nochmals!!
Gruß
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetiger Punkt von Parabel und Kreis
Ich weiss jetzt gar nicht mehr, was wirklich gegeben und was gesucht ist.
Oben schreibst du im Anhang, P1 und P2 seien fix vorgegeben und nennst die Parabelgleichung.
Nun sagst du, nur ein Punkt P3(-7,q) und der Scheitel S(s,0.06) der Parabel seien vorgegeben.
Ob dabei q und s auch bekannt sind, bleibt unklar, jedenfalls für s. Bitte klären.

Mathcad kenne ich nicht.

Wenn du übrigens P1 und P2 (samt Horizontaltangente in P2) vorgibst, ist der Kreisradius bereits festgelegt, ganz unabhängig vom weiteren Verlauf der Parabel.
 
 
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetiger Punkt von Parabel und Kreis
Hallo,

Ich erkläre dir das Problem nochmal von vorne und ausführlicher.

Stell dir doch mal einen Balken (Rechteck) vor der die Länge L=14 (gebe ich mir vor) hat und die Höhe h=0.35 (gebe ich mir auch vor). Der Ursprung des Koordinatensystems liegt wie folgt: Y-koordinate ist bei L/2 und die x koordinate läuft auf der Unterkante des Balkens (h=0) Nun möchte ich ein Seil innerhalb des Balkens (Rechteck verlegen). Das Seil beginnt links (-7/ 0,17) diesen Punkt gebe ich mir ebenfalls vor. Das Seil soll als Parabel bis zu P1 laufen, ab P1 soll der Seilverlauf als Kreisform verlaufen. Der Punkt P2 ist das Ende des Balkens hier gebe ich mir die Höhe vor wo das Seil am Balkenende mit horizontaler Steigung endet. Durch diese Aufgabenstellung kann ich mir den linken Punkt vorgeben. Als weitere Vorgabe gebe ich mir den Abstand vom Scheitelpunkt zur Parabel vor (x-Koordinate ist unbekannt).
Am Ende muss ich den Radius wissen und alle Abstände abfragen können von unterkante Balken bis zum Seil. Der Radius ist wichtig, da ich ihn mit einem Mindesradius vergleichen muss. Die X-Koordinate von P1 könnte ich mir auch vorgeben.
Ich füge nochmal eine bessere Skizze an.
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetiger Punkt von Parabel und Kreis
sorry für das schlechte Bild, ging grad nicht besser. Ganz unten steh sy wird vorgegeben. Das ist der Abstand von Unterkante Balken bis zum Seil am Scheitelpunkt (Die x koordinate ist unbekannt)
Danke nochmal für deine Hilfe!!!!
Gruß
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetiger Punkt von Parabel und Kreis
Nun ist es umgekehrt: Du hast zuviele Freiheitsgrade.
Um alles auf wenige Lösungen einzuschränken, kann man nun die x-Koordinate von P1 noch vorgeben (ich habe mal x1=6 verwendet), oder seine y-Koordinate oder beide Koordinaten eines weiteren Parabelpunktes P4.

Das Gleichungssystem ist nicht linear. Es hat mehrere Lösungen (Parabel berührt Kreis links-oben oder rechts-unten, Parabelscheitel ist zwischen P3 und P1 oder links von P3, Kreiszentrum ist unterhalb oder oberhalb P2, r kann negativ werden).

Mathematica konnte ich bisher nicht zwingen, alle Lösungen zur Auswahl auszugeben. So musste ich, um die gewünschte Lösung zu finden, deine Näherungswerte als Startwerte vorgeben.

[attach]16411[/attach]
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetiger Punkt von Parabel und Kreis
Wow, das ging ja schnell.
Ich hab es mir kurz angesehen (Familie wartet) werd es mir spätestens Dienstag genau anschauen. Den Anfang habe ich verstanden (vom Programmcode) aber ab der Zeile wo es mit g4 losgeht verstehe ich es noch nicht ganz.
Ich werd dann mal versuchen das ganze mit Mathcad zu bearbeiten.
Die wahl von der X-Koordinate von P1 ist genau das was ich brauche!!!
Aber trotzdem, nochmals herzlichen Dank!!!!!!
Gruß
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetiger Punkt von Parabel und Kreis
g4 behauptet die Gleichheit der Ableitungen bei x1 (indem die Differenz abgeleitet und null-gesetzt wird.)

w ist die Lösung in der Nähe der Startwerte, gezeigt mit Out[13].
y1 ist Out[14] und
sx ist Out[15].
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetiger Punkt von Parabel und Kreis
Hallo,

eine Frage nochmal zu deiner Berechnung, ist denn bei deiner Lösung die Steigung des Kreises bei P2 =0?
Gruß
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetiger Punkt von Parabel und Kreis
Ja, weil ich das Zentrum=(x2,y2-r) des Halbkreises k auf die Vertikale durch P2=(x2,y2) lege.
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetiger Punkt von Parabel und Kreis
Hallo,

so jetzt habe ich es auch mit Mathcad geschafft. Vielen Dank nochmals für deine Hilfe!!!
Gruß
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: stetiger Punkt von Parabel und Kreis
Hallo Wisili,

ich habe ja wie schon gesagt das ganze jetzt auch hinbekommen. Jetzt habe ich noch ein Problem, was ich mir mathematisch nicht erklären kann. Und zwar kommt bei manchen Berechnungen eine Endlosschleife in meinem Programm (denke ich zumindest, da es nicht aufhört zu rechnen)

Die Angaben sind:

P1 = (8 / ?)
P2 = (9 / 0.23)
P3 = (-9 / 0.12)
sy = 0.05


mit diesen Angaben findet mein Programm keine Lösung ( hört nicht auf zu rechnen). Ich suche y1 mit der Bedingung, dass bei x1 beide Funktionswerte (von Kreis und Parabel gleich sind).
Das Problem ist sy, wenn ich für sy 0.0501 eingebe rechnet das Programm wieder. Bei 0.08 rechnet es auch nicht erst wieder mit 0.0801. Hast du vielleicht eine Idee, woran das liegen könnte?

Gruß Tim
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich die Bedingung über die Gleichheit der y Koordinaten im Punkt 1 gleichsetzte und mit gerundeten Werten rechne, dürfte das einen Einfluss auf die Schleife haben.
Ich habe mal die Genauigkeit der Nachkommastellen hochgesetzt und siehe da jetzt geht es.
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ich bins nochmal,

ich habe jetzt alles hinbekommen und es funktioniert. Nun wollte ich die Berechnung ausweiten. Und zwar möchte ich auf der linken Seite auch einen Kreis einfügen, der bei x3 ebenfalls eine horizontale Tangente hat. Nur leider löst mein Programm die Gleichungen nicht auf. Ich möcht y1 und y4 als Unbekannte in den Gleichungen haben. Danach kann ich dann wieder über Schleifen die y Werte ermitteln. Die Punktbezeichnung ist wie zuvor. Der neu eingefügte Punkt ist P4. Die x- Koordinate von P4 gebe ich mir wieder vor. In der Berechnung zuvor habe ich die Werte für a,b,c und r in Abhängigkeit von y1 ausgeben bekommen. Ich bin mir nicht sicher, ob mir eine Bedingung fehlt oder eine falsch ist. Vielleicht hättest du noch einen Tipp für mich. Im Anhang sind die Bedingunen und eine Skizze. In der Skizze ist das Endergebins dargestellt, welches ich ebenfalls rausbekommen möchte.

Würd mich freuen, wenn du noch einen Tipp für mich hättest.

Gruß
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Tim

mein Mathematica-Modell konnte ich problemlos auf den neuen Wunsch ausweiten:
Eine Variable (r4) und eine Gleichung mehr als zuvor.

Deine Liste enthält zuoberst zwei falsche Gleichungen. (Die Parabel geht nicht durch P2 und nicht mehr durch P3.)

Die nächsten 2 sind äquivalent, nur eine ist nötig.
Und die letzten 4 braucht es auch, total also 5.

[attach]16480[/attach]

(3 Ziffern stimmen jeweils mit deinen überein.)
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke!!
Klar die oberen waren komplett falsch, hab ich total übersehen.

Ich habe jetzt auch 5 Gleichungen (siehe Anhang) aber mein Programm löst mir die Gleichungen immer noch nicht. Stimmen denn meine Ableitungen der Kreise links und rechts?

Gruß
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

«Stimmen denn meine Ableitungen der Kreise links und rechts?»

Das mag ich nun nicht nachprüfen. Die erste der beiden hast du ja schon erfolgreich verwendet!
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

klar du musst jetzt nicht ableiten, aber die Gleichung für den linken Kreis lautet doch:

k4(r4,x)= 2* (r4^2-(x-x3)^2)^0.5

stimmt doch oder?
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »

y
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Den Faktor 2 verstehe ich nicht und die y-Koordinate des Zentrums fehlt.

Weiter oben habe ich per EDIT Zahlen nachgeliefert. Dort siehst du meine Gleichung (der Kreis k4 heisst bei mir j).
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry,

bin etwas durch den Wind, hab dir die falsche Gleichung gesagt. Meine lautet natürlich:

k4(x4,r)= (r4^2-(x-x3)^2)^0.5 + y3 -r4
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Schlussfrage: Wenn das ein «Kabelverlauf» sein soll: Wie kommt es dann zur Parabel? Ein durchhängendes Kabel nimmt eher die Form einer «Kettenlinie» an.
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke. Deine Lösung stimmt. Und ich kann sie nachvollziehen.
Von den Vorgaben her hab ich ja das gleiche, nur leider löst mein Programm das bis jezt noch nicht. Ich muss mal schauen wie das mit meinem Programm funktioniert.

Bei der Version mit einem Kreis (rechts) hat mir das Programm die Lösungen in Abhängigkeit von y1 ausgegeben.

Gruß
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu deiner Frage mit der Kettenlinie.

Das ganze benötige ich im Bereich Spannbeton, und da wird der Kabelverlauf annähernd mit einer Parabel beschrieben.

Gruß
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

so ich habs jetzt endlich auch geschafft. Im Anhang habe ich mal meine Ergebnisse neben deinen dargestellt. Was mich nur noch wundert, warum wir eine Abweichung haben????????? Ich schätze mal, dass es was mit Rundung zu tun hat ? Ich habe mal die Parbel mit deinen Werten über meine gelegt. Und es sieht ziemlich gut aus. Ich denke das müsste so passen. Was mich nur wundert, dass der Radius soviel abweicht. Aber bei dem großen Radius fällt es nicht so ins Gewicht.

Gruß
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, mir sind die Abweichungen auch schon oben aufgefallen und sie lassen mich nicht ganz kalt. Wenn es nur verschiedene Rundungsvorgänge wären, dann müssten wir beide wohl einmal die Einstellungsmöglichkeiten unserer CAS-Systeme studieren ...
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich habe mal nachgeschaut bzgl. Einstellungen habe aber bis jetzt noch nichts gefunden.

Gruß
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Die Scheitelhöhe sy = 0.05 stimmt mit deinen Zahlen nicht:

[attach]16510[/attach]
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke. Das hab ich auch gemerkt. Hmmm das heisst ja es muss bei mir ne Rundungssache sein. Da ich mir zuerst Gleichungen für a, b und c ausgegen lasse in Abhänigkeit von y1 und y4. a.b und c setzte ich dann anschließend ein. Anschließend habe ich zwei Gleichungen wo nur noch y1 und y4 vorkommt.Da in den Gleichungen für a, b und c schon die angegebenen Werte mit einbezogen werden (Z.B x1, x2, x3 usw) gehe ich von einer Rundungsdifferenz aus. Ich versuche mal am Montag die Gleichungen direkt zu lösen, ohne irgendwelche Werte einzusetzten. Mal schauen obs dann passt.
Gruß
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

so jetzt hab ich es auch hinbekommen. Die Werte stimmen mit deinen Werten überein. Jetzt habe ich nur noch ein Problem, denn die Bedingung dass die Ableitungen von Kreis und Parabel bei x1 und x4 gleich sein müssen, habe ich gleich null gesetzt und die Ableitungen addiert. Normalerweise müssten die Gleichungen voneinander abgezogen werdem, da die Steigungen doch das gleiche Vorzeichen haben. Im Anhang sind zwei Bilder, wenn ich die Ableitungen addiere und dann null setzte stimmt das Ergebnis. Wenn ich sie voneinander abziehe findet mein Programm keine Lösung. Ich habe keine Erklärung dafür. Kann es sein, dass es was mit dem Radius zu tun hat (wenn er negativ wird oder so)

Gruß
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst möchte ich mal wissen, woran es lag.
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also es ist so wie ich gedacht habe. In den Berechnungen wo ich Abweichungen zu deinen Ergebnissen hatte, habe ich mir die Werte a, b und c in Abhängigkeit von y1 und y4 ausgeben lassen. Ich habe dann Gleichungen erhalten, wo alle bekannten Werte eingesetzt worden sind (nur eben y1 und y4 nicht). Somit hatte ich Gleichungen für a, b und c mit Zahlen, y1 und y4. Wenn ich dann anschließend die Gleichungen wo nur noch y1 und y4 vorkommt lösen ließ, ergaben sich die Werte mit minimalen Abweichungen. Wenn ich aber wie im Anhang (im Beitrag zuvor) die Gleichungen löse lasse erhalte ich die selben Werte wie die deinen. Nur wundert mich eben das "+" noch in der Bedingung der Ableitungen.

Gruß
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Heisst das, du hattest mit den Startwerten y1 und y4 weitergerechnet, statt mit den inzwischen genauer bestimmten?

Das Plus darf dich nicht wundern: Der Term T mit der Wurzel im Nenner ist nämlich nicht die Kreisbogenableitung, sondern -T.
Tim1250 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

den Term mit der Wurzel im Nenner erhalte ich doch, wenn ich k(r,x) ableite.

Anbei nochmal eine Erläuterung wie ich zu den Werten mit der minimalen Differenz gekommen bin.

Siehe Anhang:
Im ersten Bild sind die Vorgaben zu sehen mit denen ich die Werte a,b und c in Abhängigkeit von y1 und y4 ermittelt habe.

Im zweiten Bild:
sind die Werte für a, b und c dargestellt. Diese habe ich dann in Bild drei eingesetzt und mir die Werte y1 und y4 ausgeben lassen.

Gruß
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tim1250
den Term mit der Wurzel im Nenner erhalte ich doch, wenn ich k(r,x) ableite.


Ja, nach x ableiten, dann x1 für x.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »