Eigenschaften Binominalkoeffizient beweisen

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30.10.2010, 11:26	Nextor	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften Binominalkoeffizient beweisen Meine Frage: Hallo, ich habe mir folgende Eigenschaft $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} n \\ k+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ von Binominalkoeffizienten angeschaut und Frage mich nun wie man zu diesem $\begin{eqnarray} \frac{n!}{k!(n-k)!}+ \frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}=\frac{n!((k+1)+(n-k))}{k!(k+1)(n-(k+1))!(n-k)} \end{eqnarray}$ Umformungsschritt kommt? Kann mir jemand vlt einen Ansatz bzw. eine Regel dazu nennen? Außerdem wollte ich noch Fragen ob mir jmd hierzu $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} k \\ j \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n-j \\ k-j \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ einen Ansatz für einen Beweis nennen kann? Meine Ideen: In beiden Fällen habe ich leider überhaupt keine Ahnung und auch schon in diversen Büchern nachgeschaut.Ich bräuchte nur einen Ansatz keine Lösung des Problems. Ich hoffe jemand kann mir da weiter helfen. Mit freundlichen Grüßen Nextor
30.10.2010, 11:39	org	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften Binominalkoeffizient beweisen Genau, erstmal alles mit einem Bruch ausdrücken. $\begin{eqnarray} \frac{n!}{k!(n-k)!}+ \frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}=\frac{n!((k+1)+(n-k))}{k!(k+1)(n-(k+1))!(n-k)} \end{eqnarray}$ Jetzt noch zusammenfassen! z.B. im Zähler steht doch was von k und -k ... Mach die 2. ohne die 1.
30.10.2010, 12:27	Nextor	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften Binominalkoeffizient beweisen Aber genau diesen Umformungsschritt verstehe ich ja nicht. Wie kann ich die zwei Therme umformen sodass ich sie auf einen Bruchstrich schreiben kann? $\begin{eqnarray} \frac{n!}{k!(n-k)!}+ \frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!}=\frac{n!((k+1)+(n-k))}{k!(k+1)(n-(k+1))!(n-k)} \end{eqnarray}$
30.10.2010, 13:10	org	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften Binominalkoeffizient beweisen den ersten Bruch mit (k+1) erweitern, den zweiten mit (n-k)
31.10.2010, 07:12	Nextor	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften Binominalkoeffizient beweisen Ich glaube jetzt hab ich den Umformungsschritt verstanden. Wenn ich erweitere komm ich auf folgende Überlegung: k!(k+1)=(k+1)! und (n-k)! = (n-(k+1))!(n-k) und somit kann man beide Therme zusammenfassen. Vielen dank, nun konnte ich die komplette Herleitung der Eigenschaft nachrrechnen. Kann mir vlt noch jemand einen Ansatz für folgenden Beweis gebe? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} k \\ j \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n-j \\ k-j \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
31.10.2010, 09:42	Danip159	Auf diesen Beitrag antworten »
Hoi, hoffe es ist ok, wenn ich mal kurz übernehm Wie oben schon gesagt wurde. Am einfachsten ist es wenn du dir mal die ganzen Fakultäten aufschreibst. Hier sieht man auch, dass alles mit einem "mal" verknüpft ist, was die ganze Sache leicht "hin und herschiebbar" macht Ok: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} k \\ j \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n-j \\ k-j \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{k!}{j!(k-j)!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{k!}{j!(k-j)!} \frac{(n-j)!}{(n-j)!} \end{eqnarray}$ Im zweiten Schritt haben wir einfach nur erweitert. Dann kan man noch das k! rauskürzen und alles umordnen: $\begin{eqnarray} \frac{n!}{(n-k)!} \frac{1}{j!(k-j)!} \frac{(n-j)!}{(n-j)!} = \frac{n!}{j!(n-j)!} \frac{(n-j)!}{(k-j)!(n-k)!} \end{eqnarray}$ Für den hintersten Bruch der Nenner kannst du dir noch denken: $\begin{eqnarray} (n-k)! = (n-j-k+j)! = (n-j-(k-j))! \end{eqnarray}$ Ich hoffe jetzt ists etwas klarer mfg und Greetings
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01.11.2010, 08:55	Nextor	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank jetzt hab ichs verstanden Aber noch eine Frage hätte ich: Hier ist doch n festgelegt und i die Laufvariable oder? Also n ändert sich nicht. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n (-1)^{i} \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
01.11.2010, 09:03	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip richtig, allerdings sollte dann unter der Summe i=0 stehen.
01.11.2010, 09:06	Nextor	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt danke
01.11.2010, 09:46	Nextor	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich nun beweisen will das $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n (-1)^{i} \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ =0 ist, wie könnte ich da vorgehen. Überlegt hab ich mir folgendes: Durch das (-1)^i ergibt sich immer im Wechsel 1 und -1. Beim Binominalkoeffizient tritt ja hier ein Wert immer doppelt auf, das das n festgelegt ist aber dass i ansteigt, Bsp: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Als Werte ergeben sich ja 1,3,3,1 die zudem mit gegensätzlichen Vorzeichen versehen werden. Also stimmt die Aussage. Nun fehlt mir aber der Ansatz dies auch mathematisch zu beweisen und nicht nur durch diese Überlegungen.
01.11.2010, 09:55	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Vor allem klappt diese Überlegung nur für ungerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Für gerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ wie etwa $\begin{eqnarray} n=4 \end{eqnarray}$ sind solche direkten "paarweisen Auslöschungen" nicht zu beobachten: $\begin{eqnarray} 1-4+6-4+1 = 0 \end{eqnarray}$ Denk einfach mal an den binomischen Satz $\begin{eqnarray} (a+b)^n = \sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i} \end{eqnarray}$ mit passend gewählten $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ . Zudem war diese Aufgabe schon gefühlte zigmal hier im Board vertreten, auch in letzter Zeit wieder einige Male... P.S.: Als Summenindex hast du $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ geschrieben, meinst aber allem Anschein nach $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ - besser aufpassen das nächste mal.

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