Wurzeln und Potenzen vereinfachen

30.10.2010, 13:27

permutation

Wurzeln und Potenzen vereinfachen

Hallo,

Ich stehe vor unsicherheiten beim vereinfachen von Wurzeln und Potenzen.
$\begin{eqnarray*} \newline \frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}}=(\frac{16}{2})^\frac{1}{3} \newline \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{\frac{x}{y}}}=(\frac{xy}{\frac{x}{y}})^\frac{1}{2} \newline \frac{\sqrt[3]{u^4v}}{\sqrt[3]{uv}}=\frac{u\sqrt[3]{uv}}{\sqrt[3]{uv}} \end{eqnarray*}$

Den letzten könnte man, wenn ich Recht habe, auch noch als Bruch unter eine Wurzel ziehen.
Habe ich sonst irgendwelche Fehler gemacht, oder etwas nicht genug vereinfacht?
(16/2)^(1/3), könnte man wohl auch als $\begin{eqnarray*} 8^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

30.10.2010, 13:33

Cel

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Hallo,

stimmt so weit alles. Aber es geht noch weiter. Wie du schon sagst: 16/2 = 8. Und aus 8 kann man schön die dritte Wurzel ziehen. Beim zweiten solltest du dir überlegen, wie man durch Brüche dividiert. Und beim dritten kannst du auch noch kürzen. Warum eigentlich?

30.10.2010, 15:03

permutation

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Warum ich das tue? bzw. wozu ich das vereinfachen soll?

Ich habe viel Freizeit und mir deswegen das Buch Mathematik für Informatiker gekauft, und mir vorgenommen, dass Buch durchzuarbeiten, um die Zeit sinnvoll zu nutzen! Die Aufgabenstellung ist mit "Vereinfachen Sie" sehr offen gehalten, und aus dem Kontext ist mir auch nicht ersichtlich, wie weit der Author sich die vereinfachung wünscht, da dachte ich, ich zeig euch einfach mal meine Schritte, und lern aus der Resonanz. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{\frac{x}{y}}}=(\frac{xy}{\frac{x}{y}})^\frac{1}{2}=y \end{eqnarray*}$
(16/2)^(1/3) wären dann 2

und bei der dritten Aufgabe kürz ich die Wurzel noch weg.

Denke damit hat sich alles geklärt :-)

30.10.2010, 17:32

Cel

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Das Warum am Ende bezog sich auf die Tatsache, dass man dort kürzen kann. Und die Antwort ist, dass u*v ungleich Null ist. Sonst wär der Term ganz am Anfang nicht definiert. Und die Wurzel aus y^2 ist |y|. Sonst aber alles gut. smile

31.10.2010, 12:21

permutation

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Moinsen,

Gerade habe ich noch eine Aufgabe gefunden.

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x^{2m+1}}}{\sqrt[]{x}}=\sqrt{x^{m+1}} \end{eqnarray*}$

Ist das so okay?

31.10.2010, 15:09

Cel

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Nein, wie kommst du darauf?

31.10.2010, 16:33

permutation

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Ich habe mir vorgestellt den Bruch unter einer Wurzel zu schreiben, und dann einfach ein X zu kürzen. Nicht cool?

31.10.2010, 18:03

Cel

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Doch, du hast aber nicht die Potenz "1" gekürzt, sondern "m". Leider dann doch uncool.

Geh also immer streng nach der Regel vor:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^p}{x^q} = x^{p-q} \end{eqnarray*}$

31.10.2010, 20:14

permutation

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$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x^{2m+1}}}{\sqrt[]{x}}=\sqrt{x^{2m}} \end{eqnarray*}$

Ich denke, dass sollte dann stimmen!

Dank dir Cel!

31.10.2010, 21:40

Pavel

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Zitat:

Original von permutation
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x^{2m+1}}}{\sqrt[]{x}}=\sqrt{x^{2m}} \end{eqnarray*}$

Ich denke, dass sollte dann stimmen!

Ja, soweit ist es richtig.
Es geht aber noch einfacher!

Schau mal in den Potenzgesetzen nach, vielleicht fällt dir dann etwas auf.

31.10.2010, 23:44

permutation

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Danke Pavel,

$\begin{eqnarray*} a^{\frac{n}{m}}=(a^{\frac{1}{m}})^n=(\sqrt[m]{a})^n \end{eqnarray*}$
Dieses Gesetz ist wohl gemeint.
Und ich hoffe, auf den letzten Metern mach ich nicht noch alles falsch:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x^{2m+1}}}{\sqrt[]{x}}=\sqrt{x^{2m}}=x^{\frac{2m}{2}}=x^m \end{eqnarray*}$

Allerdings bin ich etwas verunsichert. In dem Gesetz steht n ausserhalb der Klammer, und nicht unter der Wurzel. verwirrt

01.11.2010, 01:33

Pavel

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} a^{\frac{n}{m}}=(a^{\frac{1}{m}})^n=(\sqrt[m]{a})^n \end{eqnarray*}$
Dieses Gesetz ist wohl gemeint.

Ich dachte zwar an ein anderes, aber so gehts natürlich auch.

Zitat:

Und ich hoffe, auf den letzten Metern mach ich nicht noch alles falsch:
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x^{2m+1}}}{\sqrt[]{x}}=\sqrt{x^{2m}}=x^{\frac{2m}{2}}=x^m \end{eqnarray*}$

Sieht gut aus. Freude

Zitat:

Allerdings bin ich etwas verunsichert. In dem Gesetz steht n ausserhalb der Klammer, und nicht unter der Wurzel. verwirrt

Ist kein Problem, da gilt:

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt[m]{a}\right)^n=\sqrt[m]{a^n},a\in \mathbb{R^+} \end{eqnarray*}$

(Wohlgemerkt gilt dies nur bei einer nichtnegativen Basis!)

Es gibt noch einen anderen Weg, auf dem man auch schnell auf die Lösung kommt:

Es gilt die Potenzregel: $\begin{eqnarray*} a^{m\cdot n}=(a^m)^n \end{eqnarray*}$

In unserem Fall gilt daher: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2m}}=\sqrt{(x^m)^2}=|x^m| \end{eqnarray*}$

Denn die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion.

(Die Betragsstriche habe ich zur Sicherheit gesetzt, da nirgendwo eindeutig angegeben ist, aus welchen Zahlenbereichen x und m kommen. Dein Weg setzt voraus, dass x nichtnegativ ist, meiner lässt das offen.)

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