Vollständige Induktion Analysis

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Matheblüte Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Analysis
Für welche n Element der natürlichen Zahlen mit 0 sind die folgenden Aussagen wahr?
A(n): 2n+1 kleiner gleich 2^n
B(n): n² kleiner gleich 2^n

Beweisen Sie Ihre Vermutung mit vollständiger Induktion.

IDEE:
Bisher habe ich herausgefunden dass für
n=0 und n=4,5,6,7.... die folgenden Aussagen wahr sind (ausprobiert)

ja ansich weiß ich was vollständige Induktion meint und ist, aber bisher haben wir es immer zuerst mit n=1 gezeigt und dann mit n+1 für alle sozusagen bewiesen.
Ja nur jetzt ist ja n=1 nicht dabei... wie mache ich jetzt den Induktionsanfang mit n=0?
Oder sage ich für n=1 funktioniert es nicht <-- das ist doch schwachsinn oder? ich will ja zeigen für welche n diese Ungleichungen gelten.
ist dann mein Induktionsschluss n+4? oder wie mache ich das?
org Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Analysis
> n=4,5,6,7....
Dann fang mit n=4 an....

Den Fall n=0 musst du extra behandeln.
Matheblüte Auf diesen Beitrag antworten »

Ok mein INduktionsanfang ist n=4
also
A(4): 9=2*4+1 kleiner gleich 2^4=16

B(4) 16 kleiner gleich 16

Dann INduktionsvoraussetzung:
Für n=4 stimmt die Aussage, nun müssen wir noch überprüfen ob es für n+5 stimmt

Dann Induktionschluss:
Muss ich das jetzt mit A und B machen und mit beiden Seiten?
Matheblüte Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie behandele ich den Fall 0?
Schreibe ich da einfach
Besonderheit Fall n=0 und sage für A und B stimmt es?
org Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matheblüte
Und wie behandele ich den Fall 0?
Schreibe ich da einfach
Besonderheit Fall n=0 und sage für A und B stimmt es?


ja.

Zitat:

A(4): 9=2*4+1 kleiner gleich 2^4=16

B(4) 16 kleiner gleich 16


Hint: Ich denke, dass A und B getrennt betrachtet werden sollen.

Zitat:

Für n=4 stimmt die Aussage, nun müssen wir noch überprüfen ob es für n+5 stimmt

NEIN. Das hiesse ja, dass du die Aussage für 4,9,14,... zeigst!!

1. Die Aussage gilt für n=4.
2. Jetzt zeige, dass sie auch für n+1 gilt, wenn sie für n gilt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Du mußt zeigen, daß wenn für ein gewisses gilt, daß dann auch gilt. Nichts da mit !
Und wenn du das gezeigt hast, stimmt für alle , da ja gilt. (Es gilt übrigens auch .)
 
 
Matheblüte Auf diesen Beitrag antworten »

Achso danke ich muss diese getrennt betrachten ok dann macht es auch Sinn!
Dann wäre ermal bei A(n)
Induktionsanfang: n=3 machen
Induktionsvoraussetzung: Wenn es für A(n) für ein gewisses n gilt hier3 dann gilt es auch für A(n+1)
Induktionsschluss: ...

Ok und B(n)
Induktionsanfang: n=4 machen
Induktionsvoraussetzung:Wenn es für B(n) für ein gewisses n gilt hier 4 dann gilt es auch für B (n+1)
Induktionsschluss:...

bis hierher stimmts oder
Matheblüte Auf diesen Beitrag antworten »

Und Induktionsschluss: es muss für n gelten n größer gleich 3
A(n+1)

2(n+1)+1 kleiner gleich 2^(n+1)
2n+2 kleiner gleich 2^n*2 und das stimmt ja für n größer gleich 3
Matheblüte Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt das so?
org Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist so kein Beweis. Das musst du schon richtig zeigen.

Sie dir von deiner Vorlesung ein paar Induktionsbeweise an und versuch das Prinzip zu verstehen.
Matheblüte Auf diesen Beitrag antworten »

Das schlimme ist ja ich habe meine Unterlagen in meiner Unistadt vergessen und bin gerade zu Hause...
könnt ihr mir vielleicht noch einen Tip geben
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matheblüte
2(n+1)+1 kleiner gleich 2^(n+1)

OK, das ist jetzt zu zeigen. Jetzt nehmen wir die linke Seite und formen um:
2(n+1) + 1 = 2n + 1 + 2

Die 2n + 1 kannst du nun mittels der Induktionsvoraussetzung nach oben abschätzen.
Matheblüte Auf diesen Beitrag antworten »

Also schreibe ich dann
(2n+1)+2 <= 2^n*2
(2n+1)+2 <= 2^n+2^n

Nach INduktionsvoraussetzung
2n+1<=2^n

und man sieht auch dass 2<=2^n

also stimmt die Aussage für alle n>=3

Stimmt das so?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also so ist der Beweis etwas holprig. Schreibe so:



Also ist . q.e.d.
Matheblüte Auf diesen Beitrag antworten »

danke :-) wäre meines falsch?
ach ja und bei noch einer Aufgabe komm ich gar nicht weiter also überhaupt nicht... die hab ich hier auch reingestellt "Beschränktheit und Supremum einer Menge" kannst du mir da auch noch einen Tip geben?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matheblüte
danke :-) wäre meines falsch?

Falsch will ich nicht sagen. Für mich kommt nicht klar genug rüber, warum nun sein soll.

Übrigens hast du hier noch eine Aufgabe B.
Matheblüte Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja stimmt ja...
Induktionsanfang:
n=4
16<=16 stimmt

Induktionsvoraussetzung:
Es stimmt für B(4), jetzt muss es noch für B(n+1) gezeigt werden "n>=4"

Induktionsschluss:
Also ich hätte das jetzt wieder so gemacht
(n+1)²<= 2^(n+1)
n²+2n+1<=2^n+2^n
und dann wieder so begründet wie bei A

aber das wäre ja wieder ziemlich schwammig

Induktionsschluss besser:?
(n+1)²=n²+2n+1<=2^n+n²<=2^n+2^n=2^(n+1)
Also ist (n+1)²<=2^(n+1)
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Matheblüte
Induktionsschluss besser:?
(n+1)²=n²+2n+1<=2^n+n²<=2^n+2^n=2^(n+1)
Also ist (n+1)²<=2^(n+1)

So ist es gut. Noch besser wäre es, wenn du bei den benutzten Abschätzungen noch eine kleine Begründung hinzufügst. smile
Matheblüte Auf diesen Beitrag antworten »

Ok . Ganz ganz vielen lieben Dank smile
Ach ja und die Sonderfälle schreibe ich einfach extra drunter?

Bei A(n):2n+1<= 2^n

Besonderheit: Fall n=0
Dies stimmt für A(0)
A(0):1<=1




Bei B(n):n²<=2^n


Besonderheit
Fall B(0): 0<=1 stimmt
Fall B(1): 1<=2 stimmt
Fall B(2): 4<=4 stimmt

Oder ist das so falsch hingeschrieben
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ist so ok. smile
Matheblüte Auf diesen Beitrag antworten »

smile danke
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