Begründung für Gleichung

30.10.2010, 15:41

Spaghetti-Frosch

Begründung für Gleichung

Hi @ all,

ich habe hier in einer Aufgabe Gleichungen erstellen müssen, die alle nach demselben Muster "funktionieren", wie folgendes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 14\cdot 16=10\cdot 20+4\cdot 6\ \end{eqnarray*}$

Nun soll ich begründen, warum diese Rechnung (uunabhängig vom konkreten Beispiel) funktioniert. Hat irgendjemand einen Denkansatz für mich?

Schon mal vielen Dank und noch ein schönes Wochenende an alle

Gruß,

Rolf

30.10.2010, 15:44

tigerbine

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RE: Begründung für Gleichung
$\begin{eqnarray*} 14\cdot 16=(10+4)(10+6) \end{eqnarray*}$

30.10.2010, 15:51

Spaghetti-Frosch

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Die Rechnung hab ich mir beim rumprobieren auch schon notieren, ich kann nur keine Begründungsgeeignete Regelmäßigkeit da drin erkennen. Was übersehe ich?

30.10.2010, 15:53

tigerbine

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Ich sehe bislang gar keine Überlegung von dir. Auch hast du das Muster nicht ausreichend formuliert.

30.10.2010, 16:06

Spaghetti-Frosch

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Alles klar: Ich habe bislang folgendes "rausgefunden":
Wenn ich 2 2-stellige Zahlen miteinander multipliziere, die beide im Zahlenbereich von 11-19 liegen, und deren "Einerstellen" zusammen 10 ergeben, dann lassen sie sich wie folgt berechnen: $\begin{eqnarray*} 10\cdot 20 +\text{ Die Multiplikation der beiden Einerstellen} \end{eqnarray*}$
Ich habe überlegt, ob das etwas mit dem Stellenwertsystem zur Basis 10 zu tun hat, und habe deshalb die Ausgangs-Gleichung nocheinmal wie folgt aufgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} (1\cdot 10^1+4\cdot 10^0)\cdot (1\cdot 10^1+6\cdot 10^0)=((1\cdot 10^1)\cdot (2\cdot 10^1))+((4\cdot 10^0)\cdot (6\cdot 10^0)) \end{eqnarray*}$
Leider habe ich keine erhellenden Ergebnisse daraus gezogen

30.10.2010, 16:13

tigerbine

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Zitat:

Wenn ich 2 2-stellige Zahlen miteinander multipliziere, die beide im Zahlenbereich von 11-19 liegen, und deren "Einerstellen" zusammen 10 ergeben, dann lassen sie sich wie folgt berechnen:

Tja, wie kann man die Zahlen dann denn schreiben?

$\begin{eqnarray*} (10+e_1)(10+e_2) = ? \end{eqnarray*}$

Und dann weiß man ja noch

$\begin{eqnarray*} e_1+e_2=10 \end{eqnarray*}$

Da hat man die Regel dann doch schnell.

30.10.2010, 16:27

Spaghetti-Frosch

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Danach würde ich die Regel dann so notieren:
$\begin{eqnarray*} \forall x,y\in \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\text{ mit }x+y=10\text{:} (10+x)\cdot (10+y)=10\cdot 20+x\cdot y \end{eqnarray*}$
Das scheint mir aber irgendwie gefühlsmäßig weniger eine allgemeingültige Regel für diesen Fall zu sein, sondern eher eine Art Sonderregel. Gibt es da nicht noch eine allgemeinere Regel für?

30.10.2010, 16:29

tigerbine

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Was machst du denn da? Die Regel hatten wir in Worten doch schon. Du sollst sie doch nur beweisen. Dazu hatte den Anfang doch schon hingeschrieben...

$\begin{eqnarray*} (10+e_1)(10+e_2) = ? \end{eqnarray*}$

Kannst du das mal bitte ausrechnen. [MEHR NICHT machen]

30.10.2010, 16:41

Spaghetti-Frosch

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Okay:

$\begin{eqnarray*} (10+e_1)(10+e_2)=100+10e_2+10e_1+e_1e_2 \end{eqnarray*}$

Hm...Sorry, ich stehe absolut aufm Schlauch

30.10.2010, 16:43

tigerbine

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Nun guck halt mal scharf hin.

$\begin{eqnarray*} (10+e_1)(10+e_2)=100+\underbrace{10e_2+10e_1}+e_1e_2 \end{eqnarray*}$

Ich hatte uns ja schon notiert.

$\begin{eqnarray*} e_1+e_2=10 \end{eqnarray*}$

Wie können wir also weiter umformen?

30.10.2010, 16:55

Spaghetti-Frosch

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Alles klar: da gilt $\begin{eqnarray*} e_1+e_2=10\text{ muss dann auch gelten: }10e_1+10e_2=100 \end{eqnarray*}$
Und damit haben wir für die ganze Rechnung:
$\begin{eqnarray*} 100+100+e_1e_2\text{ oder eben: }10\cdot 20+e_1e_2 \end{eqnarray*}$
Okay, dann versuch ich das mal noch irgendwie in einen mathematisch korrekten Terminus zu bringen Lehrer

Ganz vielen Dank für die große (und andauernde) Hilfe Freude

Liebe Grüße, Rolf

30.10.2010, 16:56

tigerbine

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Einsicht ist die schönste Sicht. Viel Spass weiterhin. Wink

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