ungleichung

12.11.2006, 21:25	cosinüsschen	Auf diesen Beitrag antworten »
ungleichung hab da folgendes problem..soll beweisen, dass für alle $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N 0 \end{eqnarray}$ gilt 3 ^{n} \geq n^{3} . ich darf dabei verwenden, dass für alle $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n\geq 4 \end{eqnarray}$ 2^{n} \geq n^{2}. hab jetzt versucht mit vollst. Induktion dranzugehen... induktionsanfang is ja klar, aber der induktionsschritt bereitet mir probleme also bei n $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ n+1 muss ich dann beweisen, dass $\begin{eqnarray} 3^{n+1} \geq (n+1)^{3} \end{eqnarray}$ : Also zuerst hab ich das ganze aufgeteilt: $\begin{eqnarray} 2^{n} 2(3/2)^{n} (3/2)\geq n^{2} n2(3/2) \end{eqnarray}$ . nun komm ich aber nicht weiter...könnt ihr mir irgendwie helfen?
12.11.2006, 21:29	cosinüsschen	Auf diesen Beitrag antworten »
hhm..da hat was ja nicht so ganz geklappt..also das erste soll $\begin{eqnarray} 3^{n} \geq n^{3} \end{eqnarray}$ sein
12.11.2006, 21:31	cosinüsschen	Auf diesen Beitrag antworten »
und das zweite 2^{n} \geq n^{2}
12.11.2006, 21:32	cosinüsschen	Auf diesen Beitrag antworten »
jaja..ich bin vergesslich $\begin{eqnarray} 2^{n} \geq n^{2} \end{eqnarray}$
13.11.2006, 09:05	cosinüsschen	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir echt niemand helfen??
13.11.2006, 09:49	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
So, ich hatte erst Blödsinn hier stehen... jetzt aber der richtige Hinweis: Die vorausgesetzte Ungleichung $\begin{eqnarray} 2^n \geq n^2 \end{eqnarray}$ hoch $\begin{eqnarray} \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} (2\sqrt{2})^n = 2^{\frac{3}{2}n} \geq n^3 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\geq 4 \end{eqnarray}$ ... Das sollte erstmal helfen.
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13.11.2006, 12:10	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin ein Fan der Bernoullischen Ungleichung: $\begin{eqnarray} 3^n = (\frac{3}{2})^2 \cdot (\frac{3}{2})^{n-2} \cdot 2^n \geq 2 \cdot (1+\frac{1}{2})^{n-2} \cdot 2^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \geq 2 \cdot (1+(n-2) \cdot \frac{1}{2}) \cdot 2^n = n \cdot 2^n \geq n \cdot n^2 \end{eqnarray}$

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