Grenzwerte

12.11.2006, 21:39

itchy00

Grenzwerte

Hi,

suche den Grenzwert für die Folge:

$\begin{eqnarray*} \lim \limits_{n \to \infty}\sqrt{n+\sqrt{n}} - \sqrt{n-\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

also eigentlich weiß ich schon, dass der Grenzwert 1 ist, aber wie kommt man da schrittweise hin?????
Hab den Tipp bekommen, dass als erstes mit 3. Binom erweitert werden soll.
und dann?

wo ich schon dabei bin, gesucht wird auch der Beweis dafür, dass
$\begin{eqnarray*} \lim \limits_{n \to \infty}\frac{n^k}{q^n}=0 \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} q \in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q>1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k\in N \end{eqnarray*}$ fest.
Da hab ich leider noch überhaupt keinen Ansatz.

thx

12.11.2006, 21:48

Mathespezialschüler

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Naja, erweitere mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ . Zur zweiten Aufgabe: Siehe hier oder hier.

Gruß MSS

12.11.2006, 21:50

Geistermeister

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Erweitere mit
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$
und fasse zusammen!
Bei deiner anderen Aufgabe gilt dieses:
Unendlich hoch irgendeine Zahl ist dann auch unendlich.
Aber dabei ist eine Zahl hoch unendlich nochmal viel größer.

12.11.2006, 21:52

Frooke

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Zitat:

Original von Geistermeister
Bei deiner anderen Aufgabe gilt dieses:
Unendlich hoch irgendeine Zahl ist dann auch unendlich.
Aber dabei ist eine Zahl hoch unendlich nochmal viel größer.

Dir ist schon klar, dass das als Beweis nicht ausreicht!?

Wenn es erlaubt ist, kannst Du den Hospital zig mal anwenden Augenzwinkern

...

13.11.2006, 13:49

itchy00

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RE: Grenzwerte
also, nach erweiter mit 3.Binom steht da:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}} \end{eqnarray*}$

wie gehts weiter?

vielleicht irgendwie mit der Formel
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+\sqrt{n}} =\frac{n*\sqrt{1+\sqrt{1/n}}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

da bleibt aber dann $\begin{eqnarray*} \frac{2*\sqrt{n}}{2} \end{eqnarray*}$ übrig und das geht nicht gegen 1

???????????????????

EDIT: Latex korrigiert (klarsoweit)

13.11.2006, 14:05

klarsoweit

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RE: Grenzwerte

Zitat:

Original von itchy00
also, nach erweiter mit 3.Binom steht da:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn auf den Zähler? verwirrt

13.11.2006, 15:18

itchy00

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RE: Grenzwerte

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von itchy00
also, nach erweiter mit 3.Binom steht da:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn auf den Zähler? verwirrt

falsch: muss $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ im Zähler stehn

13.11.2006, 16:45

Mathespezialschüler

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Deine Idee ist schon richtig! Benutze

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+\sqrt{n}}=\sqrt{n}\cdot \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n-\sqrt{n}}=\sqrt{n}\cdot \sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{n}}} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

13.11.2006, 19:26

itchy00

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Hab die Lösung gefunden:

gesucht war $\begin{eqnarray*} \lim \limits_{n \to \infty} (\sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}}) \end{eqnarray*}$

ich lasse für die Umformungen das $\begin{eqnarray*} \lim \limits_{n \to \infty} \end{eqnarray*}$ weg und schreibe ihn am Ende wieder dazu.

erweitern mit 3.Binom:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{n+\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}}*\frac{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}}=\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}}} \end{eqnarray*}$

jetzt erweitern mit $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{2n}{\sqrt{n}*(\sqrt{n+\sqrt{n}}+\sqrt{n-\sqrt{n}})}=\frac{2n}{\sqrt{n^2+n^\frac{3}{2}}+\sqrt{n^2+n^\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$ (n wurde in die Wurzel multipliziert)

$\begin{eqnarray*} =\frac{2n}{\sqrt{n^2 (1+\frac{1}{\sqrt{n}})}+\sqrt{n^2 (1-\frac{1}{\sqrt{n}})}}=\frac{2n}{n(\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}+\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{n}})}} \end{eqnarray*}$

n wegkürzen un dann wieder den Limes dazu. Für die beiden Terme $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ unter den Wurzeln gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim \limits_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0 \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} \lim \limits_{n \to \infty}\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{n}}}+\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{n}}}}=\lim \limits_{n \to \infty}\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\lim \limits_{n \to \infty}\frac{2}{2}=1 \end{eqnarray*}$
:o)

13.11.2006, 19:43

Mathespezialschüler

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Das Erweitern mit $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ ist zwar überflüssig, aber es ist alles richtig!

Gruß MSS

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