Endomorphismus : Ableitung , Inklusionen zeigen

30.10.2010, 16:58	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Endomorphismus : Ableitung , Inklusionen zeigen Nabend , ich beschäftige mich gerade mit folgender Aufgabe : Wir betrachten den Q-Vektorraum V = Q[T] und den Endomorphismus $\begin{eqnarray} \Im : V --> V \end{eqnarray}$ , der einem Polynom seine Ableitung zuordnet. Zeigen Sie, dass für alle k > 0 folgende Inklusionen gelten : $\begin{eqnarray} 0 \subset ker \Im^k \subset im \Im^k = V \end{eqnarray}$ Also ich habe mir gedacht, ker und im so zu definieren : $\begin{eqnarray} im \Im^k = a_n x^n + a_{n-1} +^{n-1} + ... + a_1 x^1 + a_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ker \Im^k = a_0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x^n , a_n \neq 0 \forall n \in { \mathbb N + { 0 } } \end{eqnarray}$ Dann habe ich lso $\begin{eqnarray} 0 \subset a_0 \subset a_n x^n + a_{n-1} +^{n-1} + ... + a_1 x^1 + a_0 \end{eqnarray}$ = V So sind jedenfalls meine Gedanken dazu. Ich denke , dass auf jedenfall meine Beschränkung nicht ganz richtig ist, dass nicht alle $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$ und nicht alle $\begin{eqnarray} a_n = 0 \end{eqnarray}$ ungleich sind. Da könnte man vielleicht besser sagen, dass einfach nicht alle 0 sein dürfen. Was denkt ihr? ^^
30.10.2010, 17:52	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ich sehe da gerade , dass ich mich da bei etwas vertippt habe. Als ich das Bild der Abbildung definiert habe habe ich da in der Mitte stehen $\begin{eqnarray} a_{n-1}+^{n-1} \end{eqnarray}$ Es muss natürlich heißen $\begin{eqnarray} a_{n-1} x^{n-1} \end{eqnarray}$ MfG ^^
31.10.2010, 17:01	Vanylar	Auf diesen Beitrag antworten »
Hol das Thema mal wieder weiter nach oben, da ich die Aufgabe auch habe. Das $\begin{eqnarray} im\Im^k \end{eqnarray}$ hab ich genauso definiert,nur beim $\begin{eqnarray} ker\Im^k \end{eqnarray}$ wusste ich nicht genau weiter. Warum $\begin{eqnarray} ker\Im^k=a_0 \end{eqnarray}$ ?
31.10.2010, 17:27	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Kern habe ich so gewählt, weil ja alle $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ auf 0 abgebildet werden. Der Kern beschreibt ja, welche Elemente auf 0 abgebildet werden. Und jede normale Zahl abgeleitet ergibt 0. f(x) = 2 , wenn man das ableitet ergibt sich f´(x) = 0 Das aber nun für jede normale Zahl. Also müsste $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ der Kern sein.
31.10.2010, 19:58	Vanylar	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, da hast du Recht,hätt ich auch drauf kommen können... danke für's erklären. Zur Beschränkung weiß ich jetzt aber auch nicht weiter, wär super wenn da noch jemand was zu sagen könnte..

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