Periode von Summen/Produkten trigonometrischer Funktionen

30.10.2010, 18:59

Q-fLaDeN

Periode von Summen/Produkten trigonometrischer Funktionen

Hey Leute,
was ich schon lange mal Fragen wollte ist folgendes: Wie berechnet man eigentlich Perioden von Zusammengesetzten trigonometrischen Funktionen? Also von Produkten oder Summen. Ich vermute das bekommen wir noch in der Vorlesung, aber ich möchte es nun schon länger wissen.

z.B.

$\begin{eqnarray*} f(x) = 3\cos (x-3\pi)-\sin (3x+2) \end{eqnarray*}$

Brauch ich dafür die Reihenentwicklung der Funktionen?

30.10.2010, 19:12

Lampe16

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Eine harmonische Summe (Summanden sind sin- und/oder cos-Terme mit Frequenzen f,2f,3f,...) hat die Periode 1/f. Das Podukt zweier harmonischer Summen (wie eben) hat i. A. ebenfalls die Periode 1/f.

30.10.2010, 19:15

Q-fLaDeN

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Ok, und warum ist das so? Und was, wenn ich keine harmonische Summe habe, wie in meinem Beispiel?

30.10.2010, 21:32

René Gruber

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Zitat:

Es seien $\begin{eqnarray*} f_1,\ldots,f_n \end{eqnarray*}$ periodische reelle Funktionen mit den kleinsten Perioden $\begin{eqnarray*} T_1,\ldots,T_n \end{eqnarray*}$ . Existiert deren kleinstes gemeinsames Vielfaches $\begin{eqnarray*} T^* \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} f(x) := g(f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x)) \end{eqnarray*}$

periodisch für jede denkbare Funktion $\begin{eqnarray*} g:\;\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , und die kleinste positive Periode $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (so sie denn existiert) ist ein Teiler von $\begin{eqnarray*} T^* \end{eqnarray*}$ .

Mehr kann man in dieser Allgemeinheit erstmal nicht sagen: Ob nun $\begin{eqnarray*} T=T^* \end{eqnarray*}$ ist, oder ein echter Teiler, oder wie etwa in einem Extremfall wie $\begin{eqnarray*} f_1(x)=\cos(x),f_2(x)=\sin(x),g(t_1,t_2)=t_1^2+t_2^2 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} f(x) = \cos^2(x)+\sin^2(x) \end{eqnarray*}$

die Funktion dann sogar konstant ist, bleibt einer detaillierteren Untersuchung vorbehalten.

Ein anderes Beispiel, wo kein solches kgV existiert:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \cos(x) + \cos(\sqrt{2}x) \end{eqnarray*}$

ist nicht periodisch.

30.10.2010, 21:43

Lampe16

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$\begin{eqnarray*} f(x) = 3\cos (x-3\pi)-\sin (3x+2) \end{eqnarray*}$ ist ein Beispiel für eine harmonische oder trigonometrische Summe mit sehr wenigen harmonischen Komponenten.

02.11.2010, 18:15

Q-fLaDeN

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So ich melde mich wieder, hatte mich erst jetzt wieder damit beschäftigt.

@René Gruber
Ok das hilft schonmal. Also gibt es keine allgemeinen Berechnugnsmethoden wie man eine solche Periode berechnet, sondern nur Speizialfälle?

@Lampe16
Was ist denn dann genau eine harmonische Summe? Du hast doch gesagt, das ist eine Summe von trigonometrischen Funktionen, bei der jeder Summand eine Periode von nf hat. Nun sagst du aber auch, dass mein Beispiel eine harmonische Summe ist, obwohl das mit den Perioden gar nicht gegeben ist. Und was bedeudet "sehr wenige harmonische Komponenten"?

02.11.2010, 18:22

René Gruber

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Wie ich schon sagte: Untersuchung im Detail.

Es ist ja bereits bei nur einer Funktion und nachgeschalteter Transformation möglich, dass sich die Periode verringert, Beispiel

$\begin{eqnarray*} f_1(x) = \sin(x) \end{eqnarray*}$ mit kleinster Periode $\begin{eqnarray*} T_1 = 2\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2(x) = (f_1(x))^2 = \sin^2(x) \end{eqnarray*}$ mit kleinster Periode $\begin{eqnarray*} T_2 = \pi = \frac{T_1}{2} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Ich kann also nur folgendes vorschlagen: Man startet mit obigen kgV und untersucht, ob ein Teiler davon Periode sein kann:

Wenn nein, Ok, dann ist der kgV die gesuchte kleinste Periode.
Wenn ja, dann wiederholt man die ganze Untersuchung nunmehr für diesen Teiler.

Bei reinen Linearkombinationen von Sinus- und Kosinustermen kann man sich natürlich speziellere, einfachere Kriterien zusammenbasteln.

02.11.2010, 18:52

Lampe16

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN

@Lampe16
>Was ist denn dann genau eine harmonische Summe? Du hast doch gesagt, das ist eine Summe von trigonometrischen Funktionen, bei der jeder Summand eine Periode von nf hat.

Das alles liest Du am besten unter den Stichworten Fourieranalyse / Fourierentwicklung / Fouriersynthese / Fourierreihe / periodische Funktionen / Grundharmonische / höhere Harmonische im Mathebuch nach.

In Kürze: Eine harmonische Summe besteht aus harmonischen Funktionen, d.h. im Reellen aus sin- und cos-Summanden. Sie kann endlich viele Summanden haben, auch nur 2, oder unendlich viele. Der letztere Fall ist interessant, weil man damit periodische Funktionen (z.B. aus Impulsen oder Sägezähnen u.v.a.) beschreiben kann.

Z.B. beschreibt die harmonische Summe
$\begin{eqnarray*} y=2( \frac{\sin x}{1} - \frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}-...) \end{eqnarray*}$
eine Sägezahnfunktion mit der Periode $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ .
Wenn Du höhere Terme weglässt, wird die Näherung ungenauer. Aber wenn Du nur die ersten drei "Hormonischen", d.h. die Grundharmonische und die 2. und 3. Harmonische addierst, ist der Sägezahn schon gutzu erkennen.

Zitat:

Nun sagst du aber auch, dass mein Beispiel eine harmonische Summe ist, obwohl das mit den Perioden gar nicht gegeben ist. Und was bedeudet "sehr wenige harmonische Komponenten"?

Siehe oben

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