vollständige induktion

30.10.2010, 19:40

Zippe

vollständige induktion

Meine Frage:
Also:
folgendes Problem

zeigen sie,dass für alle x element r ohne 1 und n element n gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k x^{k-1}=\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^{n} +1}{(x-1)^{2} } \end{eqnarray*}$

für den Induktionsanfang komm ich noch klar... glaub ich

für n=1 zb steht da 1=1

also gut

eigentlich ist hier ja die summe zu bilden für x^0 oder?

Mein Problem ist der Induktionsschritt

Meine Ideen:
Mir ist klar dass es n+1 sein muss.
Aber schreib ich jetzt nur einfach den Bruch ab und addiere n+1 dazu?
Das kann ich mir wirlich nicht vorstellen...Oder etwa (n+1)^0
Aber das wär ja 1 und dann komm ich ja nicht auf die Form die zu zeigen wäre...

Entweder hab ich die Induktion nicht verstanden oder aber mir fehlt ein Trick der hier anzuwenden wär...

Ich hab mal versucht von der Form für n+1 zur eig. Gleichung zu kommen... hat aber auch nicht geholfen.

Wie bildet sich denn die summe genau: ist das zb 2^0+3^0+...n^0??

für hilfe wär ich wirklich sehr sehr dankbar smile

30.10.2010, 20:34

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu dem Bruch ist der (n+1)ste Summand, der sich nach der links stehenden Summel ergibt, zu addieren und dies muss die rechts stehende Formel für den Index (n+1) statt n ergeben:

$\begin{eqnarray*} \frac{nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(x-1)^{2}} + (n+1)x^n = \frac{(n+1)x^{n+2}-(n+2)x^{n+1}+1}{(x-1)^{2}} \end{eqnarray*}$

Du formst nun die linke Seite einfach algebraisch solange um, bis der gleiche Term wie rechts erscheint. Den Nenner $\begin{eqnarray*} (x-1)^2 \end{eqnarray*}$ kannst du weglassen, nachdem du links und rechts mit diesem multipliziert hast.

mY+

31.10.2010, 02:02

Zippe

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch mehr Probleme...
jaaaaa....da hätte ich auch selbst drauf kommen können böse

nun bin ich aber wirklich verloren...
ich muss vorausschicken, dass ich mich mit Fakultät und Binominalkoeffizienten mal so gar nicht auskenn und das noch nie zuvor gehört hab...

so... ich habe versucht mit den Rechenregeln zu behelfen, die ja alle wunderschön abgedruckt sind... was dahinter steckt wird mir wahrscheinlich noch ein wenig verborgen bleiben...aber gut...

zur Aufgabe...

zeigen sie für alle n>=k und n,k element n

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} =\sum\limits_{m=k}^n \begin{pmatrix} m \\ k\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

soooo...

für n+1 dachte ich mir dann folgendes:

da m über k ja das gleiche zu der linken Seite der Gleichung ist folgt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so in "Fakultätenschreibweise"

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}+\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!} \end{eqnarray*}$

wenn ich das auf einen Hauptnenner von (k+1)!(n-k+1)! bringe und im Zähler n+1 ausklammer,hab ich den Bruch

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!((k+1)!+(n-k+1)!)}{(k+1)!(n-k+1)!} \end{eqnarray*}$

so...
a hab ich ehrlich gesagt nicht so den schimmer was ich da produziert habe bzw was das aussagt...(ich hoffe das steht in meinen Büchern :thumb smile

b wie gehts jetzt weiter?

ich möchte doch eig zu n+2 über k+2 oder??? aber wie mach ich das....
also mein Bruch müsste irgendwann mal so aussehen

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+2)!}{(k+2)!(n-k)!} \end{eqnarray*}$ .......oder?

31.10.2010, 11:07

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Noch mehr Probleme...

Zitat:

Original von Zippe
wenn ich das auf einen Hauptnenner von (k+1)!(n-k+1)! bringe und im Zähler n+1 ausklammer,hab ich den Bruch

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!((k+1)!+(n-k+1)!)}{(k+1)!(n-k+1)!} \end{eqnarray*}$

Wie bist du denn darauf gekommen? Schau nochmal genau, welchen Bruch du mit was erweitern mußt.

Im übrigen kannst du für $\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{k+1} + \binom{n+1}{k} \end{eqnarray*}$ die bekannte Regel $\begin{eqnarray*} \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1} \end{eqnarray*}$ verwenden, sofern ihr die schon bewiesen habt und nutzen dürft.

Und noch ein Tipp: Binomialkoeffizienten kannst du in Latex mit \binom{n}{k} schreiben.

31.10.2010, 12:27

Zippe

Auf diesen Beitrag antworten »

ok... also alles auf anfang traurig

die formel oben hab ich gestern das erste mal gesehen Big Laugh

in der vorlesung selbst kam das auch alles nicht... ich denke das wirds auch nicht Augenzwinkern

nach einiger recherche via internet kommen die leute da alle auf so komische nenner die ich absolut nicht nachvollziehen kann...

ich geh jetzt einfach mal davon aus dass diese netten kleinen buchstaben fürs erste so zu behandeln sind wie normale reelle zahlen...

dann hätte ich dort ein heidenchaos stehen zur erweiterung der brüche:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!((k!(n-k+1)!)}{(k+1)!(n-k)!(k!(n-k+1)!)} +\frac{(n+1)!((k+1)!(n-k)!)}{k!(n-k+1)!(k+1)!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

sooo... das sieht nicht gut aus....

ich könnte da noch im Zähler n+1 ausklammern
aber es hackt dann ungemein...

und wenn ich diese regel von oben für $\begin{eqnarray*} \binom{n+1}{n+k} \end{eqnarray*}$ anwende ...naja eig weiß ich ehrlich gesagt nicht wirklich was ich damit anstellen soll...

Gott

ich würds ja wirklich gern versuchen aber ich steig nicht so dahinter was diese komisches gebilde überhaupt von mir wollen unglücklich

31.10.2010, 14:05

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hattest doch schon den richtigen Hauptnenner genannt:

Zitat:

Original von Zippe
wenn ich das auf einen Hauptnenner von (k+1)!(n-k+1)! bringe

Jetzt mußt du nur die beiden Brüche entsprechend erweitern

Zitat:

Original von Zippe
ich geh jetzt einfach mal davon aus dass diese netten kleinen buchstaben fürs erste so zu behandeln sind wie normale reelle zahlen...

Das sind erstmal natürliche Zahlen. Und ohne grundlegende Kenntnis der Fakultätseigenschaften wirst du nicht weiterkommen.

31.10.2010, 14:28

Zippe

Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaub ich hab die Lösung

hab mich versucht mit rechenregeln aus dem i net zu behelfen Big Laugh

...ist es richtig dass ich am ende auf $\begin{eqnarray*} \binom{n+2}{k+1} \end{eqnarray*}$ kommen muss...

unglücklich

oh man... ich denke ich muss mir das wohl mal irgendwie im eigenstudium aneignen...und mir nen guten Lehrer suchen...

aber danke...

zur absicherung:
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+2)!}{(k+1)!((n+2)-(k+1)!} \end{eqnarray*}$

na zumind hab ich 5 % der thematik erfasst Big Laugh

aber vielen dank für die antworten...
jetzt muss ich nur noch recherchieren warum (k+1)!*k=k! und (n-k+1)!*(n-k) = n-k)! ist... und dann klappts auch mit dem nenner Augenzwinkern

31.10.2010, 14:32

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Zippe
jetzt muss ich nur noch recherchieren warum (k+1)!*k=k! und (n-k+1)!*(n-k) = n-k)! ist

Beides ist falsch, Richtig ist: (k+1) * k! = (k+1)!

Neue Frage »

Antworten »

vollständige induktion

Verwandte Themen