Konvergenz zeigen

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30.10.2010, 19:48	Nadelspitze	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz zeigen Zeigen Sie, nur mit Hilfe der Definition von Konvergenz, dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{n^2 + 2n + 1}{2n^2 +2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Behauptung: Die Folge $\begin{eqnarray} \frac{n^2 + 2n + 1}{2n^2 +2} \end{eqnarray}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ Beweis: $\begin{eqnarray} e \in \mathbb R : e>0 \end{eqnarray}$ Behauptung $\begin{eqnarray} \forall n\geq N\in \mathbb N : \|\frac{n^2 + 2n + 1}{2n^2 +2}\| < e \end{eqnarray}$ Beweis $\begin{eqnarray} \|\frac{n^2+2n+1}{2n^2+2} - \frac{1}{2} \| \Rightarrow \|\frac{n^2+2n+1}{2(n^2+1)} - \frac{1}{2} \|\Rightarrow \|\frac{n^2+2n+1}{2(n^2+1)} - \frac{1(n^2+1)}{2(n^2+1)} \|\Rightarrow \|\frac{n^2+2n+1-1(n^2+1)}{2(n^2+1)} \| \Rightarrow \| \frac{n^2+2n+1-n^2-1}{2(n^2+1)} \|\Rightarrow \| \frac{2n}{2(n^2+1)} \| \Rightarrow \| \frac{n}{n^2+1} \| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n\geq N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \| \frac{n}{n^2+1} \| < \| \frac{N}{N^2+1} \| < e \end{eqnarray}$ Hier weiß ich jetzt nicht genau weiter... ich weiß, rein aus dem Verstand herraus, dass wenn n>N -> n/(n²+1) < N/(N²+1) und dass es immer ein N/(N²+1) gibt, das kleiner ist als e ist mir auch bewusst. Aber wie beweise ich dies? Es interessiert sich ja eher niemand dafür, was ich weiß solang ich nichts beweise In der Vorlesung hat der Prof in einem Beispiel sich einem Satz zu Hilfe genommen, nachdem $\begin{eqnarray} \exists k\in \mathbb N : \frac{1}{k} <e \end{eqnarray}$ Hilft mir aber hier nur bedingt. Freue mich auf Anstöße jeglicher Art
30.10.2010, 19:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Satz ist hier sehr geeignet: $\begin{eqnarray} \left\|\frac{n}{n^2+1}\right\| < \left\|\frac{n}{n^2}\right\| \end{eqnarray}$ Überlege warum.
30.10.2010, 20:54	Nadelspitze	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht so: $\begin{eqnarray} e\in \mathbb R \Rightarrow e=\frac{a}{b}=\frac{a}{(b^{-1})^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \| \frac{a}{(b^{-1})^2+1} \| < \|e\|=\|\frac{a} {(b^{-1})^2} \| \end{eqnarray}$ und nun könnte $\begin{eqnarray} \| \frac{a}{(b^{-1})^2+1)} \| = \| \frac{n}{(n^2+1)} \| \end{eqnarray}$ das würde aber auch bedeuten, dass n=a -> a=b^-1 und das würde nicht gehen da n^-1 kein Element der natürlichen Zahlen ist.
30.10.2010, 20:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab ehrlich keine Ahnung was du gerade zeigen willst.
30.10.2010, 21:15	Nadelspitze	Auf diesen Beitrag antworten »
ich dachte, ich könnte mit deinem satz direkt zeigen das n/n^(2+1)>e aber dies geht nicht. mein problem ist dieses n im nenner. in diesem (n/n²) kann man ja auch noch kürzen und hätte wieder nur 1/n 1/n <e -> N/(N²+1) < N/N²=1/n²<1/n<e so?
30.10.2010, 23:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, du müsstest nur begründen warum du 1/(N+1) nach oben gegen 1/N abschätzen darfst.
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31.10.2010, 12:47	Nadelspitze	Auf diesen Beitrag antworten »
Dies kann ich aufgrund des letzten Übungsblattes, in dem ich bewiesen habe, dass wenn $\begin{eqnarray} a > b > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0<\frac{1}{a} <\frac{1}{b} \end{eqnarray}$ die kann ich ja hier verwenden da N+1 > N > 0 Kommen wir also wieder zum Beweis zurück. $\begin{eqnarray} n\geq N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \| \frac{n}{n^2+1} \| \leq \| \frac{N}{N^2+1} \| < e \end{eqnarray}$ laut Satz 1.18 $\begin{eqnarray} \exists \frac{1}{k} <e \end{eqnarray}$ nun setzen wir k=N $\begin{eqnarray} \frac{1}{k}=\frac{1}{N}=\frac{N}{N²} \end{eqnarray}$ Aus Übungsblatt 2 (n>N) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{1}{n+1}<\frac{1}{N+1} <\frac{1}{N}=\frac{N}{N²} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{1}{n+1}<\frac{1}{N+1} <\frac{N}{N²}<e \end{eqnarray}$ aber wie komme ich von da zum $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{n}{n²+1}<\frac{N}{N²+1} \end{eqnarray}$
31.10.2010, 16:59	Nadelspitze	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{n}{n^2+1} = n\frac{1}{n^2+1} <n\frac{1}{n^2} \Rightarrow \frac{1}{n^2+1} < \frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^2} < \frac{1}{N^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{N^2} > \frac{1}{N^2+1} \Rightarrow N\frac{1}{N^2} > N\frac{1}{N^2+1} \Rightarrow \frac{N}{N^2} > \frac{N}{N^2+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{n}{n^2+1} \leq \frac{N}{N^2+1} < \frac{1}{N} < e \end{eqnarray}$ damit dürfte das ganze hier bewiesen sein. Oder?! und mal im ernst, dass muss doch kürzer gehen...
31.10.2010, 17:09	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hätte es verkürzt so aufgeschrieben: $\begin{eqnarray} \| \frac{n}{n^2+1} \| \leq \| \frac{1}{n} \| \leq \frac{1}{N} < \epsilon \end{eqnarray}$ , da es ein N gibt, so dass 1/N < Eps (Wegen Archimedes bzw. aus dem Satz der Vorlesung)
31.10.2010, 17:38	Nadelspitze	Auf diesen Beitrag antworten »
also stimmt alles soweit? danke
31.10.2010, 17:57	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich Prinzip auf jeden Fall, die ganzen Rumsprünge irritieren aber sehr - ich denke die ganze Mühe für einen Schritt, den ich bei mir einfach umgangen habe, da man das nicht zeigen musste, dass n/(n+1) < N/(N+1).

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