Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel

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Wombat91 Auf diesen Beitrag antworten »
Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Das n-te Tschebyscheff Polynom sei definiert durch
und
Ich soll nun zeigen,
a) dass eine Basis von bildet
b) und eine wertere Basis U von angeben sowie die Matrix des Basiswechsels von V nach U bestimmen. Könnt ihr mir da vielleicht weiterhelfen.

Zu a) müsste ich ja zeigen, dass die linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden. Wie kann ich das bewerkstelligen.
Bei b) habe ich wirklich keinen Ansatz.

Vielen Dank für eure Hilfe!!!
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wombat91

Bevor das ganze in eine falsche Richtung geht, gleich mal eine Korrektur:

Wombat91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Sorry, ich hab' das LaTeX nicht richtig hinbekommen. Da wo es Fehler gibt sollte stehen.
Wombat91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Ach so, tja dann ist das ein Druckfehler auf meinem Übungsblatt!!
Wombat91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Hat niemand eine Idee?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Wenn es eine Basis sein soll, was muss dann gelten?

Es wird immer ein neuer Vektor hinzu gefügt. Was muss man dann für jedes n zeigen? Es bietet sich Induktion an.

Korrekte Vorschrift verwenden.
 
 
Wombat91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Ich müsste dann einfach zeigen, dass die linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden.
Bei der linearen Unabhängigkeit müsste ich zeigen, dass ich impliziert, dass alle 's 0 sein müssen. Und beim Erzeugendensystem müsste ich zeigen, dass sich durch das Tschebyscheff Polynom jedes beliebige Polynom durch Linearkombination darstellen lässt!
Aber wie mach ich das?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Zitat:
Original von Wombat91
Aber wie mach ich das?


Ich sagte schon: z.B. Induktion. (mehr Infos über diese Polynome: [WS] Orthogonale Polynome Damit kann man das sogar direkt folgern. Weiß ja nicht, was ihr über die TP schon wisst.)



Du brauchst also zum Start T0 und T1.



Da kann man ja schnell nachweisen, dass sie lu sind und erzeugen. Wie wird denn nun T2 aus diesen beiden erzeugt. Was ist verantwortlich dafür, dass T2 nicht in <T0,T1> liegt?
Wombat91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Ich weiss leider gar nichts über Tschbyscheff Polynome, wir müssen das also ohne jegliche Vorkenntnisse lösen.
Also für jedes n muss gelten, dass es sich nicht durch Linearkombination der anderen darstellen lässt, was ja intuitiv klar ist, da sich der Grad des Polynoms bei jedem Glied eins erhöht.

Also beim Anker setzte ich n=0 und bekomme
Das lässt sich nicht als Linearkombination der anderen darstellen. Aber ich weiss schon da nicht recht, wie ich das zeigen kann?!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Zitat:
Original von Wombat91
Also beim Anker setzte ich n=0 und bekomme


verwirrt

Zitat:


Ist dir klar, dass die lu sind? Unabhängig von x muss man sie ja zum Nullpolynom linear kombinieren.
Wobat91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Ach so, muss ich dann immer nur die vorherigen Glieder betrachten?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Ich hab doch geschrieben, wie es geht. Du musst die beiden nun mal ergänzen. Induktion machen. Argument ist aber immer gleich.
Wombat91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Denn z.B. lässt sich doch durch die Linearkombination von darstellen?!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Schreib alle hin und nenne mir dann die LK.
Wombat91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Ich dachte an aber man darf x nicht als Koeffizienten verwenden stimmts?
Sorry, hab' manchmal eine etwas lange Leitung!!
Wie kann ich dann den Induktionsschluss durchführen? Da muss ich ja von n auf n+1 schliessen!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Big Laugh Nein, x darf man natürlich nicht als Koeffizient nehmen.

Die Rekursion der TP erzeugt doch immer ein Polynom von höherem Grad als die beiden, die man reingesteckt hat. Folglich, ist das neue linear unabhängig zu allen, die schon da sind. Und da die ersten beiden lu sind, bekommt man so eben eine Basis.
Wombat91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Beim Schluss müsste ich ja dann zeigen, dass das auch für n+1 gilt! Wie geht man da vor? Weil jedes Glied einen Grad höher ist als das vorherige, kann ich sie ja niemals als LinKombi darstellen. Aber wie schreibe ich das mathematisch korrekt auf? Vielen Dank für deine Hilfe! Ich bin wirklich froh, dass du dir so viel Zeit und Geduld nimmst!!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Ich kann dir doch nun nicht die Aufgabe ausformulieren... Augenzwinkern

Zitat:
Weil jedes Glied einen Grad höher ist als das vorherige, kann ich sie ja niemals als LinKombi darstellen.


Das ist das Argument. In der Induktion nimmst du eben an, dass die (1,..,n) ja schon lu und Basis sind. Die ergänzt du nun.
Wombat91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Ok, danke!! Jetzt habe ich noch eine Frage zu b). Ich könnte ja als zweite Basis von die Basis angeben. Hättest du mir da noch einen Tipp, wie ich da die Basiswechselmatrix von V nach U bestimmen könnte.
Ich hab' mal so begonnen:



...
Dann bekomm ich eine Matrix der Form:



Klar, das ist ja nur für die ersten paar Werte aber wie kann ich das allgemein darstellen? Irgendwie erkenne ich da keine Regelmässigkeiten, ausser vielleicht, dass die Matrix in Zeilenstufenform dasteht, was ja klar ist, wenn jedes neue Glied sich um einen Grad erhöht!

Vielen Dank nochmals!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Workshops -> Basiswechsel Artikel. Kann man programmieren. Hab ich sogar schon, aber nur für konkrete Zahl, nicht allgemeingültig... verwirrt
Wombat91 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Sorry, irgendwie bekomm ich die Matrix wegen LaTeX nicht richtig hin. Ich hoffe, du weisst trotzdem was ich meine!
Hmm..., ich frag mich nur wie ich das dann hinschreiben soll. Kann das ja nicht ins Unendliche durchführen. Weisst du vielleicht eine alternative Basis U die erzeugt, wobei die Basiswechselmatrix von V nach U aber auch allgemein aufschreibbar wäre?!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tschebyscheff Polynom, Basiswechsel
Die Monome bieten sich schon an. Aber adhoc weiß ich die Transfo-Matrix für bel. n nicht auswendig.
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