Kondition von Eigenwerten

30.10.2010, 21:48	Anna(Wima)	Auf diesen Beitrag antworten »
Kondition von Eigenwerten Meine Frage: Hallo, ich muss folgende Aufgaben lösen und habe leider gar keinen Ansatz. $\begin{eqnarray} A\in \mathbb R^(2x2) \end{eqnarray}$ sei eine symmetrische Matrix $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} a & c\\ c & b\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) Zeigen Sie, dass die Eigenwerte von A gut konditioniert gegen Störungen in a,b und c sind. Berechne dazu die absoluten, komponentenweisen Konditionszahlen und schätze diese ab. b) Die Berechnung der Eigenwerte von A über die Nullstellen des charakteristischen Polynoms $\begin{eqnarray} P(\lambda)=\lambda^2 + 2p\lambda + q, p=- 1/2 (a+b), q=ab-c^2 \end{eqnarray}$ beinhaltet Teilprobleme, deren Kondition schlechter ist, als die des Anfangsproblems! Zeigen sie, dass der zweite Teilschritt $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}->\begin{pmatrix} p \\ p\end{pmatrix}->\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ( auf dem ersten Pfeil muss $\begin{eqnarray} f_0 \end{eqnarray}$ und auf dem zweiten Pfeil $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ stehen) mit $\begin{eqnarray} \lambda_(1,2)=-p\pm \sqrt(p^2-q) \end{eqnarray}$ schlecht konditioniert ist. Meine Ideen: Leider habe ich keinerlei Ansätze und würde ich freuen, wenn ihr mir welche geben könntet MfG Anna
31.10.2010, 10:05	Anna(Wima)	Auf diesen Beitrag antworten »
bei Teilaufgabe b) muss im mittleren Vektor unten ein q stehen und kein p
31.10.2010, 10:42	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben die Fragestellung so nicht behandelt. Dieses Buch: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Von Wolfgang Dahmen,Arnold Reusken könnte helfen. Es gibt eine google-books Vorschau. Kapitel 7.2.
31.10.2010, 17:12	Anna(Wima)	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deinen Tipp. Ich denke, dass mir dieses Buch weiterhelfen würde, wenn ich schon ein bisschen in dem Thema drin wäre, aber wir hatten bisher erst eine Numerik Vorlesung und das ist unsere erste Übung. Also bin ich mit dem Thema noch gar nicht richtig vertraut und habe das Problem, dass ich gar nicht weiß, wie ich da ran gehen soll.
31.10.2010, 18:25	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe da nun leider wenig Zeit für. Frage dich, was die Kondition ist. Im Grunde wollen wir feststellen, wie sehr sich Eingabefehler [Matrix] auf die Eigenwerte [Ergebnis] übertragen. Bleibt das in der gleichen Größenordnung, verstärkt sich da was. Daher kann es von Interesse sein, wie man die Eigenwerte bestimmt.
02.11.2010, 08:47	Anna(Wima)	Auf diesen Beitrag antworten »
hab die Aufgabe gelöst aber trotzdem danke für deine mühe.
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02.11.2010, 10:43	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht sagt du für andere noch kurz, wie du es gemacht hast.
02.11.2010, 17:14	Anna(Wima)	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar, dass kann ich gerne machen im Prinzip ist das ganze nicht schwer. Wir wissen ja, dass für die Eigenvektoren gelten muss $\begin{eqnarray} det(A- \lambda E)=0 \end{eqnarray}$ , jetzt formt man das ganze nach Lambda um, definiert es als Funktion von F(a,b,c) und berechnet die Konditionszahlen.

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