Gleichung mit 1 Unbekannten nur numerisch lösbar ?

30.10.2010, 23:57	dreieck	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung mit 1 Unbekannten nur numerisch lösbar ? Meine Frage: Hallo, ich versuche für ein nicht-rechtwinkliges Dreieck die Höhe hc normal zu c (bzw. die fehlenden Seitenlängen) zu berechnen; es ergibt sich ein Gleichungssystem mit 1 Unbekannten aber ich kriegs nicht aufgelöst. Habt ihr ne Idee (außer numerisch) wie ich das nach dem unbekannten Winkel auflösen kann ? Szenario: Dreieck mit den Seiten a,b,c und alpha,beta,gamma seinen die gegenüberliegenden Winkel. Höhe hc steht senkrecht auf c und "teilt" gamma in g1 und g2 (sowie c in c1 und c2), wodurch also zwei innere Dreiecke mit gemeinsamer Seite (Höhe hc) entstehen. ->inneres Dreieck1: Seiten a, c1, h ->inneres Dreieck2: Seiten c2, b, h gegeben: c1, c, gamma gesucht: hc, a, b, ... Meine Ideen: alpha+beta+gamma= 180 Winkelsumme im D. g1= 180-90-beta g2= 180-90-alpha c2=c-c1 c1/sin(g1)= a Sinussatz für inn.Dreieck1 c2/sin(g2)= b Sinussatz für inn.Dreieck2 Wenn ich nun alles bekannte im Kosinussatz für das Dreieck abc verwurste ergibt sich folgende Gleichung, in welcher nur der Winkel beta unbekannt ist. c^2= [c1/sin(90-beta)]^2 +[c2/sin(90-(180-beta-gamma))]^2 -2(c1/(sin(90-beta))c2/sin((90-(180-beta-gamma))*cos(gamma) Jemand ne Idee wie ich z.B. auf (m)eine Gleichung vierten Grades komme ?
31.10.2010, 09:02	dreieck	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin nochmal einen Schritt zurückgegangen und habe das Additionstheorem und Formeleditor bemüht. $\begin{eqnarray} <br /> 0= \frac{(c1)^{2}}{(cos(beta))^{2}}+\frac{(c2)^{2}}{(cos(alpha))^{2}}-2\times \frac{c1}{\cos(beta)}\times \frac{c2}{\cos(alpha)}\times \cos(gamma)- c^{2}<br /> \end{eqnarray}$ Mein weiterer Ansatz ist, über 1-sin^2-Umformungen und die Winkelsumme die alpha und beta-Terme weiter zu reduzieren. Notfalls werde ich das numerisch durch Winkelvorgabe lösen müssen (2 Winkel und 1 Seite eines Dreiecks sollten dann kein Problem mehr sein. Nichtsdestotrotz bevorzuge ich eine analytische Lösung (ungern numerisch, kann jeder ) und würde mich sehr über einen Denkanstoß freuen; any ideas ?
31.10.2010, 09:20	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur als Anregung: Drauflosrechnen ist schön und gut, aber manchmal hilft es auch, sich das ganze erstmal konstruktiv klar zu machen. D.h., wie konstruiert man Dreieck $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ aus den gegebenen Werten $\begin{eqnarray} c,c_1,\gamma \end{eqnarray}$ ? Im vorliegenden Fall am besten mit Hilfe eines Fasskreises für $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ : [attach]16419[/attach]
31.10.2010, 11:12	dreieck	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Rene, vielen Dank für die Anregung und Lösung. Ich glaube, gestern abend war es schon etwas spät dafür, den Sinussatz mit dem Umkreis in Verbindung zu bringen, obwohl c/sin(gamma) schon der Wink mit dem Zaunpfahl ist. Vielen Dank. PS.: gesucht hc entspricht Strecke HC, also HT plus TC mit c/sin(gamma)=2r und der Betrachtung der Dreiecke ASM und MTC wirds dann plötzlich ganz einfach.
31.10.2010, 11:13	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau.

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