KEINE Borelmenge :|

31.10.2010, 08:29

funda

KEINE Borelmenge :|

Die Aufgabe lautet wie folgt: C sei aus R und keine Borelmenge. ==> es gibt ein n aus Z, so dass auch C geschnitten [n,n+1] keine Borelmenge ist.

Ich hatte noch nie eine Menge, die nicht Borelmenge ist, weswegen mir diese Aufgabe schwerfällt.

Also eine Borelmenge ist ja die kleinste Sigma-Algebra, wobei die Menge der Sigma-Algebra offen ist.

Ist jetzt zu zeigen, dass C geschnitten [n,n+1] geschlossen ist?

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe...

31.10.2010, 08:54

René Gruber

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Mit einem indirekten Beweis kommst du hier zum Erfolg: Nimm also an, dass die Behauptung

Zitat:

Original von funda
es gibt ein n aus Z, so dass auch C geschnitten [n,n+1] keine Borelmenge ist.

falsch ist. Dann ist $\begin{eqnarray*} C_n := C\cap [n,n+1] \end{eqnarray*}$ für jede ganze Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Borelmenge... Wie könnte es weitergehen, d.h., wie kann man das zu einem Widerspruch zu den Voraussetzungen führen? Da gibt es ja eigentlich nur eine, nämlich dass $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ keine Borelmenge ist.

31.10.2010, 09:59

funda

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also soll ich folgendes zeigen:

sei $\begin{eqnarray*} C_n := C\cap [n,n+1] \end{eqnarray*}$ für jede ganze Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Borelmenge. daraus folge, dass $\begin{eqnarray*} C\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Borelmenge ist.

Dies müsste dann zu einem Widerspruch führen, richtig?

31.10.2010, 10:04

René Gruber

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Genau.

31.10.2010, 10:11

funda

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und um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} C_n := C\cap [n,n+1] \end{eqnarray*}$ für jede ganze Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Borelmenge ist, muss ich doch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} C\cap [n,n+1] \end{eqnarray*}$ eine sigma-algebra ist und die Menge $\begin{eqnarray*} C\ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [n,n+1] \end{eqnarray*}$ offen sind!? verwirrt

31.10.2010, 10:21

René Gruber

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Ich hab oben bei ähnlichen Feststellungen in deinem Eröffnungsbeitrag nichts gesagt, aber jetzt muss es wohl sein:

Zitat:

Original von funda
muss ich doch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} C\cap [n,n+1] \end{eqnarray*}$ eine sigma-algebra ist

Du verwechselst in deinen Formulierungen öfters Sigmaalgebren mit Mengen, die in diesen Sigma-Algebren liegen. Das ergibt dann mathematisch nicht den geringsten Sinn.

Zitat:

Original von funda
und die Menge $\begin{eqnarray*} C\ \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [n,n+1] \end{eqnarray*}$ offen sind!? verwirrt

Eine Borelmenge kann weit mehr sein als eine offene Menge - das vergiss also mal ganz schnell.

Zitat:

Original von funda
und um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} C_n := C\cap [n,n+1] \end{eqnarray*}$ für jede ganze Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Borelmenge ist

Hast du schon wieder den Ansatz hier vergessen? Finger1

Du sollst doch nicht zeigen, dass das eine Borelmenge ist - ganz im Gegenteil: Du gehst davon aus, dass das (für alle n) Borelmengen sind und willst damit dann folgern, dass auch $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ eine Borelmenge sein muss, was dann wiederum im Widerspruch zur Voraussetzung steht.

Ein letzter Tipp dazu: Es ist

$\begin{eqnarray*} C = C\cap \mathbb{R} = C \cap \left( \bigcup_{n\in\mathbb{Z}} [n,n+1] \right) = \bigcup_{n\in\mathbb{Z}} (C\cap [n,n+1]) = \bigcup_{n\in\mathbb{Z}} C_n \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt nicht auf den Dreh kommst, dann kann ich dir auch nicht mehr helfen, ich hab dann mein Pulver verschossen.

31.10.2010, 10:26

funda

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danke dir... smile

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