Stetigkeit der Wurzelfunktion

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31.10.2010, 11:26	Mathegast123	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit der Wurzelfunktion Meine Frage: Hallo, die Aufgabe ist es, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray}$ stetig ist auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Zu Stetigkeit hatten wir bis jetzt, dass eine Funktion in $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ stetig ist, wenn $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_{0}} f(x)= f(x_{0}) \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} -\infty < a < b < +\infty \end{eqnarray}$ und existiert eine Konstante $\begin{eqnarray} C < +\infty \end{eqnarray}$ , sodass für $\begin{eqnarray} f: [a,b] -> R \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|f(x) - f(y)\| \leq C \|x-y\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall x,y \in [a,b] \end{eqnarray}$ , dann ist f stetig auf $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ Äquivalent dazu habe ich dann geschrieben: $\begin{eqnarray} \|\sqrt{x} - \sqrt{y}\| \leq C \|x-y\| \forall x,y \in [0,1] \end{eqnarray}$ Nur ich weiße jetzt nicht wie ich weitermachen soll. Muss ich jetzt das C so bestimmen, dass die Ungleichung gilt? Wenn ja, weiß ich überhaupt nicht wo ich da ansetzten soll. Oder bin ich komplett auf dem falschen Weg?
31.10.2010, 11:31	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit der Wurzelfunktion Wenn du die Stetigkeit zeigen willst, ist hier Weg über die Lipschitzstetigkeit eher unangebracht. Die Wurzelfunktion ist auf [0,1] nämlich nicht Lipschitzstetig.
31.10.2010, 11:47	Mathegast123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok. Muss ich dass dann mit $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_{0}} f(x)= f(x_{0}) \end{eqnarray}$ zeigen? Also wenn $\begin{eqnarray} x_{n} -> x_{0} \end{eqnarray}$ gilt, folgt $\begin{eqnarray} f(x_{n}) -> f(x_{0}) \end{eqnarray}$ ? Aber da weiß ich nicht wo ich ansetzten soll.
31.10.2010, 11:50	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Epsilon-Delta Kriterium wurde nicht vorgestellt? http://www.matheboard.de/archive/407553/thread.html
31.10.2010, 11:53	Mathegast123	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das Epsilon-Delta Kriterium wurde nicht eingeführt, nur das Folgenkriterium was oben steht.
31.10.2010, 12:06	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann versuche zu formulieren, was Konvergenz einer Folge bedeutet. http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...age/aussage140/
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31.10.2010, 12:31	Mathegast123	Auf diesen Beitrag antworten »
Also auf der Internetseite steht schon wieder ein Delta, das verwirrt mich. Bei uns wurde das so eingeführt: Eine Folge $\begin{eqnarray} x_{n} \end{eqnarray}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ , falls es du jedem $\begin{eqnarray} e>0 \end{eqnarray}$ eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray} N<+\infty \end{eqnarray}$ gibt, so dass für alle $\begin{eqnarray} n\geq N \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|x_{n} - x_{0}\| \leq e \end{eqnarray}$ Muss ich dann zeigen dass wenn dies gilt auch $\begin{eqnarray} f(x_{n}) \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} f(x_{0}) \end{eqnarray}$ konvergiert, also: $\begin{eqnarray} \|f(x_{n})- f(x_{0})\| \leq e \end{eqnarray}$
31.10.2010, 12:34	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Das delta kommt daher, dass die Funktionswerte ja nicht der gleichen Abschätzung genügen müssen, wie die x-Werte. Der Abstand muss nur beliebig klein werden.
31.10.2010, 12:43	Mathegast123	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, dass ist einleuchtend. Stimmt denn jetzt mein Ansatz, also dass ich zeigen muss dass aus $\begin{eqnarray} \|x_{n} - x_{0}\| \leq e \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} \|\sqrt{x} - \sqrt{x_{0}}\| \leq e \end{eqnarray}$ ist??
31.10.2010, 12:46	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Ich lese wieder die gleiche Abschätung. 2. Auch mit anderem Buchstaben ist noch nicht gezeigt, dass bei den Bildern der Abstand beliebig klein wird. Daher steht im Index im Link auch noch was.
31.10.2010, 12:52	Mathegast123	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} \|\sqrt{x} - \sqrt{x_{0}}\| \leq e \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|x_{n} - x_{0}\| \leq d_{e} \end{eqnarray}$ . Aber ich weiß nicht genau was du mit 2. meinst und ob das mit $\begin{eqnarray} d_{e} \end{eqnarray}$ so stimmt.
31.10.2010, 12:54	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte damit, dass in deiner Formulierung nicht drin ist, dass der Abstand bei den Bildern beliebig klein wird. Nun versuche dass eben mal zu zeigen. Kannst dir auch ruhig noch mal den ersten Link zur Inspiration anschauen.
31.10.2010, 13:13	Mathegast123	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist dann: $\begin{eqnarray} \|\sqrt{x} - \sqrt{x_{0}}\| \leq \|\sqrt{x}^{2} - \sqrt{x_{0}}^{2}\| = \|x - x_{0}\| \end{eqnarray}$ Aber wie gehts jetzt weiter. Wenn $\begin{eqnarray} \|x - x_{0}\| \leq d_{e} \end{eqnarray}$ ist, woher weiß ich dann das $\begin{eqnarray} \|\sqrt{x} - \sqrt{x_{0}}\| \leq e \end{eqnarray}$ sein muss ?
31.10.2010, 13:21	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Frage lässt vermuten, dass du im Link nur abgeschrieben hast (?). Ich würde mich fragen 1. Gilt diese Abschätzung? 2. Und sie um $\begin{eqnarray} \|x - x_{0}\| \leq d_{e} \end{eqnarray}$ ergänzen. Was passiert mit $\begin{eqnarray} d_{e} \end{eqnarray}$ Ich mache nun Pause. Wenn jemand weiter machen will, soll er.
31.10.2010, 13:27	Mathegast123	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} \|\sqrt{x} - \sqrt{x_{0}}\| \leq \|x - x_{0}\|\leq d_{e} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|\sqrt{x} - \sqrt{x_{0}}\| \leq e \end{eqnarray}$ müsste ja $\begin{eqnarray} e\leq d_{e} \end{eqnarray}$ sein oder?
31.10.2010, 14:25	Mathegast123	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wenn du schon fragst ob die Abschätzung glit, wird die Antwort wohl nein sein, aber ich weiß nicht wieso, denn: $\begin{eqnarray} \|\sqrt{x} - \sqrt{x_{0}}\| \leq \|x - x_{0}\| \end{eqnarray}$ z.b. ist doch $\begin{eqnarray} \|\sqrt{0,7} - \sqrt{0,4}\|=0,2 \leq \|0,7 - 0,4 \|=0,3 \end{eqnarray}$

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