Mengenbestimmung, Injektivität - Seite 2

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03.11.2010, 23:57	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Begründung ist etwas schwammig, 7 ist ebenso eine natürliche Zahl aber nicht in allen Mengen enthalten. Du musst bedenken, dass du unendlich viele Mengen zum Schnitt bringst, $\begin{eqnarray} \bigcap\limits_{n\in\mathbb N} M_n \end{eqnarray}$ , für jede natürliche Zahl existiert eine Menge $\begin{eqnarray} M_n \end{eqnarray}$ , du schneidest also unendlich viele Mengen, da wirst du mit "M0 geschnitten M1..." nicht weit kommen.
04.11.2010, 00:06	mathematikgrundkurs	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, dass ich das mathematisch korrekt nicht hingeschrieben bekommen werde. Wenn ich nun also den Formelterm der Aufgabe noch einmal aufschreibe und dann ={{M1};{M2},...{Mn}}? Oder vereinige ich die schon sofort?
04.11.2010, 00:08	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du mit {{M1};{M2},...{Mn}}? Ich bin jetzt mal offline für heute, wenn einer mag, kann er gerne übernehmen.
04.11.2010, 05:15	mathematikgrundkurs	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich fasse noch einmal zusammen, an welchen Aufgaben ich noch sitze. 1 d.) Hier gibts Probleme mit der mathematischen Schreibweise. $\begin{eqnarray} \cap_{(n\in \mathbb N )}\left\{ k\in \mathbb N \|k\leq n\right\} \end{eqnarray}$ Wie kann ich hier raus jetzt eben die von Iorek angesprochenen unendlichen Mengen darstellen und diese dann miteinander schneiden? Ich weiß auch nicht, warum du/er zeigen will, dass n+1 kein Element von M(n) ist. Was müsste denn jetzt als zweiter Schritt nach $\begin{eqnarray} \cap_{(n\in \mathbb N )}\left\{ k\in \mathbb N \|k\leq n\right\} \end{eqnarray}$ mathematisch stehen? Dann kann ich mich ja dran setzen und weiter auflösen. ------------------------ 2 c.) Hier habe ich ja die Scheitelpunktform gebildet: $\begin{eqnarray} h(x)=(x+3)^{2}+10 \end{eqnarray}$ . Die Einschränkung ist ja auch gegeben: $\begin{eqnarray} h:[-2,\infty [->\mathbb R \end{eqnarray}$ Und nun soll ich wieder den Ansatz f(x1)=f(x2) verwenden? Nachdem ich alles umgestellt habe und die Quadratwurzel gezogen habe, steht dann dort: $\begin{eqnarray} \pm (x1+3)=\pm (x2+3) \end{eqnarray}$ Wie verfahre ich dann weiter? Muss ich jetzt mit Ungleichungen weiter arbeiten? Also etwa so: $\begin{eqnarray} \pm (x1+3)>-2 \end{eqnarray}$ ? Bitte gebt mir hier auch den ersten Schritt an, dann kann ich weiter rechnen. ------------------------------------ zu 1 a.) $\begin{eqnarray} f^{-1}(]0,\infty [) \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} f(x):=x^{2}-2x \end{eqnarray}$ Hier erhalte ich nun als Menge des Urbildes: Dazu habe ich erst f(0) bestimmt. Es gibt die zwei Lösungen x1=0 und x2=2. Ansonsten geht es ins Unendliche, also lautet die Menge doch nun: $\begin{eqnarray} ]-\infty ,0[\cup ]2,+\infty [ \end{eqnarray}$ Wobei die 0 ja laut Definitionsbereich $\begin{eqnarray} f^{-1}(]0,\infty [) \end{eqnarray}$ nicht zur Menge gehören darf. Bei der 2 muss der Intervall dann doch auch offen sein, oder? -------------------- Es wäre echt super, wenn ihr mir bei den 3 bzw. ja eigentlich nur die zwei obigen Teilaufgaben soweit die Ansätze geben könntet, dass ich "nur" weiter rechnen muss...gerade bei 1 d.) komme ich nicht auf die mathematische Fortsetzung. Danke im Voraus!
04.11.2010, 08:53	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1d): Da steht schon, dass du unendlich viele Mengen schneidest. Für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist eine Menge $\begin{eqnarray} M_n \end{eqnarray}$ gegeben, da es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, gibt es auch unendlich viele viele Mengen die wir jetzt zum Schnitt bringen. $\begin{eqnarray} \bigcap\limits_{n\in\mathbb N} M_n \end{eqnarray}$ heißt, dass wir alle $\begin{eqnarray} M_n \end{eqnarray}$ zum Schnitt bringen. Das mit dem $\begin{eqnarray} n+1\notin M_n~\forall n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ ist eigentlich ein überflüssiger Schritt wie mir heute Nacht eingefallen ist. Es reicht bereits zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} 0\in M_n~\forall n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} M_0 \end{eqnarray}$ explizit anzugeben, mit einer kleinen Begründung erhält man damit auch direkt $\begin{eqnarray} \bigcap\limits_{n\in\mathbb N} M_n=\{0\} \end{eqnarray}$ . Bei der 2c) würde ich anders umformen. $\begin{eqnarray} (x_1+3)^2=(x_2+3)^2 \end{eqnarray}$ jetzt bring alles auf eine Seite und wende die dritte binomische Formel an. Zu 1a): Das Vorgehen ist richtig, allerdings ist "ansonsten gehts ins unendliche" keine ausreichende Begründung, betrachte $\begin{eqnarray} f^{-1}(]0,\infty [)=\{x\in \mathbb R~\|~f(x)\in ]0,\infty [)\}=\{x\in\mathbb R~\|~f(x)>0\} \end{eqnarray}$ .
06.11.2010, 17:45	mathematikgrundkurs	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei 1 a.) habe ich mich nun doch für eine graphische Begründung entschieden, warum die linke bzw. rechte Seite ins Unendliche geht...das war nun doch erlaubt gewesen. Zu 1. d) Da habe ich $\begin{eqnarray} M_{0} \end{eqnarray}$ ja angegeben gehabt. Darin enthalten war ja nur die null als Element. Damit ist ja schon sofort klar, dass die Schnittmenge entweder null oder leer sein muss. Laut der Bedingung musste k ja kleiner/gleich n sein und somit ist dies ja auch für 0 erfüllt. Das war dann die "kleine Begründung". Bei 2 c.) habe ich nicht gesehen, wie ich dann die dritte binomische Formel hätte anwenden sollen, denn selbst wenn ich $\begin{eqnarray} (x_1+3)^2=(x_2+3)^2 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} (x_1+3)^2-(x_2+3)^2=0 \end{eqnarray}$ bringe, so fehlt mir selbst nachdem ausmultiplizieren der beiden Klammern fehlt mir ein negative Wert. Außerdem liegt ja in beiden Klammern die erste binomische Formel vor, oder? Wie dem auch sei, ich habe das ganze jetze auch graphisch gelöst. Danke dir nochmal für deine Mitarbeit...mein nächster Thread wird wohl auch nicht auf sich warten lassen Danke auch schon mal im Voraus Schönes WE noch!!!
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07.11.2010, 00:24	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, wenn graphische Begründungen erlaubt sind, ist das natürlich eine Möglichkeit, allerdings ist das nicht unbedingt mathematisch korrekt. Zur 1d): Jetzt mach es dir doch nicht so kompliziert $\begin{eqnarray} 0\in M_n~\forall n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} 0\in\bigcap\limits_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ . Aber mit $\begin{eqnarray} M_0=\{0\} \end{eqnarray}$ erhält man damit auch direkt $\begin{eqnarray} \bigcap\limits_{n\in\mathbb N}=\{0\} \end{eqnarray}$ . Zur 2c): $\begin{eqnarray} \underbrace{(x_1+3)^2}_{=a^2}-\underbrace{(x_2+3)^2}_{=b^2}=0 \end{eqnarray}$ , da kann man die dritte bin. Formel wunderbar anwenden
07.11.2010, 01:26	mathematikgrundkurs	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah Na, jetzt weiß ich auch, was du meintest. Ich nutze dann einfach die Substitution...und definiere zum Beispiel a als Inhalt der ersten Klammer und b ebenda. Dann muss ich nicht immer die ganzen Terme in den Klammern ausschreiben Ja so hätte man es dann auch beweisen können. Aber wie gesagt, es reichte zum Glück auch der Graph Danke erstmal...ich schaue mich mal um, wo ich noch etwas interessantes zum Posten habe zu 1 d.) Ja natürlich klingt das für einen Mathematiker kompliziert, aber ich muss eben leider erstmal die ganze Sprache der Logik nachholen...wir haben in der Schule Analysis ein wenig vernachlässigt...naja dafür habe ich in der Linearen Algebra einen gewissen Vorsprung...hat eben alles so seine zwei Seiten.
07.11.2010, 10:52	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, so meinte ich das nicht mit der Substitution. Das sollte nur verdeutlichen, wie die dritte binomische Formel angewendet werden kann. Nach dem Anwenden musst du dann nur noch ein bischen umformen und zusammenfassen und bist fast fertig.
08.11.2010, 20:57	mathematikgrundkurs	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, aber das Substituieren würde das Leben ja noch einmal vereinfachen, denn dann bräuchte ich nicht immer den ganzen Ausdruck in den Klammern mitschleppen. Naja, aber ich habs ja jetzt anders gelöst Danke nochmal!!!

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