LGS in der Restklasse Zn

31.10.2010, 11:33	CrAc	Auf diesen Beitrag antworten »
LGS in der Restklasse Zn Moin! Ich arbeite gerade meinen Zettel durch, und hänge an dieser Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} N \geq 2 \end{eqnarray}$ . Man finde die Lösung des folgenden Gleichungssystems in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} / N\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} x+y+z \equiv 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+y-z \equiv 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x-y+z \equiv 0 \end{eqnarray}$ Das LGS hab ich mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus wie folgt gelöst: $\begin{eqnarray} x = 0\\y= 1/2\\z=1/2 \end{eqnarray}$ Jetzt weiß ich aber nicht wie weiter :P Ich weiß, dass ich die Gleichungen modulo n betrachten muss, und dann eine Fallunterscheidung zwischen n gerade, n ungerade treffen muss. Aber ich stehe gerade außerordentlich auf'm Schlauch („Wie mach ich das nun?“) lg
31.10.2010, 12:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Vorgehensweise und Schreibweise halte ich für unangemessen. Da es um Kongruenzen geht, solltest du auch damit arbeiten und u.a. die Kongruenz $\begin{eqnarray} 2y\equiv 1 \end{eqnarray}$ folgern. Danach sind sinnvolle Fallunterscheidungen möglich.
31.10.2010, 12:31	CrAc	Auf diesen Beitrag antworten »
Jupp, das oben geschriebene macht wenig Sinn, seh ich ein. (Wie bin ich eigentlich darauf gekommen, soetwas abzusenden? :P) Dann nun: $\begin{eqnarray} x \equiv 0\\ 2y \equiv 1 \\ 2z \equiv 1 \end{eqnarray}$ Wie es scheint weiß ich für die Lösung der Aufgabe noch zu wenig über Restklassen. (Leider gibt es nirgends ausreichende Informationen. ) Ich meld mich dann nachher noch einmal! Vielen Dank schon mal
31.10.2010, 12:36	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, Vorsicht ist geboten: Aus $\begin{eqnarray} 2x\equiv 0\bmod N \end{eqnarray}$ direkt auf $\begin{eqnarray} x\equiv 0\bmod N \end{eqnarray}$ zu schließen ist nämlich auch nur für ungerade $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ richtig. Für gerade $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ gibt es da zwei Lösungen... EDIT: Ok, zugegeben, der Fall "N gerade" erledigt sich anderweitig recht schnell.

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