Äquivalenz von Aussagen

31.10.2010, 14:09

Ryu

Äquivalenz von Aussagen

Meine Frage:
Hallo!
Ich bräuchte bei einer Übungsaufgabe, die ich nächste Woche abgeben muss, etwas Hilfe.

Aufgabe; Zeigen Sie für zwei beliebige Mengen A und B die Äquivalent folgender Aussagen:

1) $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} A \cap B = A \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} A \cup B = B \end{eqnarray*}$
4) $\begin{eqnarray*} A \setminus B = \emptyset \end{eqnarray*}$
5) $\begin{eqnarray*} B \setminus \left(B \setminus A\right) = A \end{eqnarray*}$
6) Für jede Menge C ist $\begin{eqnarray*} A \cup \left(B \cap C\right) = \left(A \cap C\right)\cap B. \end{eqnarray*}$
7) Es gibt eine Menge C mit $\begin{eqnarray*} A \cup \left(B \cap C\right) = \left(A \cap C\right)\cap B. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mir ist klar, ich zeige die Äquivalenz am besten mit dem Ringschluss.
Also: $\begin{eqnarray*} 1) \Rightarrow 2) \Rightarrow 3) \Rightarrow ... \Rightarrow 7) \Rightarrow 1) \end{eqnarray*}$
So, wäre die Äquivalenz zwischen allen Aussagen bewiesen, richtig?

Also muss ich erstmal zeigen dass $\begin{eqnarray*} 1) \Rightarrow 2) \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz war jetzt:
Sei $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x:x \in A \Rightarrow x \in B \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} A \cap B:= \left\{ x | x \in A \wedge x \in B\right\} \end{eqnarray*}$ , ist $\begin{eqnarray*} A \cap B=A \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ .
Also $\begin{eqnarray*} A \cap B=A \Leftrightarrow A \cap B = B \end{eqnarray*}$

Nun denke ich aber nicht, dass das mathematisch richtig und verständlich geschrieben ist. Deshalb bräuchte ich Hilfe für einen richtigen Ansatz, welches ich als Vorlage/Beispiel nehmen kann für die übrigen Aussagen.

Meine zweite Frage wäre dann noch, as es heißt, dass es um jefe Menge C geht (6) und um eine Menge C (7)

Ich bedanke mich schonmal im voraus.
Hoffe, es ist alles verständlich, was ich geschrieben habe.

31.10.2010, 14:18

system-agent

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Deine Beweisstrategie ist gut.

Zur ersten Implikation:
Um eine Gleichheit von Mengen zu zeigen könntest du versuchen
(i) $\begin{eqnarray*} A\cap B\subset A \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} A\subset A\cap B \end{eqnarray*}$
zu zeigen, jeweils unter Verwendung von $\begin{eqnarray*} A\subset B \end{eqnarray*}$ .

31.10.2010, 14:21

klarsoweit

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RE: Äquivalenz von Aussagen

Zitat:

Original von Ryu
Also $\begin{eqnarray*} A \cap B=A \Leftrightarrow A \cap B = B \end{eqnarray*}$

Was willst du damit sagen? verwirrt

Für $\begin{eqnarray*} A \cap B=A \end{eqnarray*}$ zeigt man, daß $\begin{eqnarray*} A \subseteq A \cap B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cap B \subseteq A \end{eqnarray*}$ ist. Letzteres ergibt sich aus der Definition der Schnittmenge. Bleibt also noch $\begin{eqnarray*} A \subseteq A \cap B \end{eqnarray*}$ , was du mit dem Beginn deines Beweises fast schon erreicht hast.

EDIT: system-agent war schneller. traurig

31.10.2010, 14:29

Ryu

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Ah, da hab ich mich vertan auf meinen Blatt...

Sollte eigentlich heißen:
Sei $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \Leftrightarrow \forall x:x \in A \Rightarrow x \in B \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} A \cap B:= \left\{ x | x \in A \wedge x \in B\right\} \end{eqnarray*}$ , ist $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \Leftrightarrow A \cap B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cap B = A \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$

31.10.2010, 14:34

system-agent

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Verständlich ist das immernoch nicht. Schreibe es zb. wie folgt, vor allem nutze auch prosa, denn zu viele Formeln helfen dem Verständnis garnicht.

Du willst $\begin{eqnarray*} A \subseteq A \cap B \end{eqnarray*}$ zeigen. Sei also $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ folgt auch $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ . Das heisst per Definition der Schnittmenge, dass $\begin{eqnarray*} x\in A\cap B \end{eqnarray*}$ . Also folgt ... .

31.10.2010, 14:45

Ryu

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Nochmal fürs Verstädnis..

Wenn ich also $\begin{eqnarray*} A \subseteq A \cap B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cap B \subseteq A \end{eqnarray*}$ zeige, habe ich dann die Äquivalenz für $\begin{eqnarray*} 1) \Rightarrow 2) \end{eqnarray*}$ gezeigt?
Ich begreife leider noch nicht die Verbindung zwischen dieser Schnittmengendefinition und $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$

31.10.2010, 14:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von Ryu
Wenn ich also $\begin{eqnarray*} A \subseteq A \cap B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cap B \subseteq A \end{eqnarray*}$ zeige, habe ich dann die Äquivalenz für $\begin{eqnarray*} 1) \Rightarrow 2) \end{eqnarray*}$ gezeigt?

Du hast dann erstmal die Gleichheit der beiden Mengen A und $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ gezeigt, was dann in der Folge identisch mit der Aussage 2 ist.

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