Induktion

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31.10.2010, 14:19

Madame

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Induktion

Meine Frage:
Hallöchen smile

Kann mir jemand bei der folgenden Aufgábe einen kleinen Tipp geben smile

?

Aufgabe:
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion für n aus N, sowie a,b aus R

$\begin{eqnarray*} a^{n} -b^{n}= (a-b)\sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k}*b^{k} \end{eqnarray*}$ .
Induktionsvoraussetzung und Induktionsanfang sind kein Problem, jedóch fehlt mir , wie immer, beim Induktionsschritt eine Idee.

Meine Ideen:
Also, was ich bis jetzt habe:
(I.S.) n nach n+1
Es gilt
$\begin{eqnarray*} (a-b)\sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k}*b^{k} \end{eqnarray*}$ .

Das ist das gleiche wie

$\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{a} \sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{n-k}*b^{k} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kommt der Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{a} \sum\limits_{k=0}^{n} a^{n-k}*b^{k}= \frac{a-b}{a} \sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{n-k}*b^{k}+ \frac{a-b}{a}* a*b^{n}= (I.V.)a^{n}-b^{n}+\frac{a-b}{a}* a*b^{n}=a^{n}-b^{n}+ \frac{a^2*b^n-ab^{n+1}}{a}=a^n -b^n +a* ( \frac{ab^n-b^{n+1})}{a} )= a^n-b^n+ab^n-b^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

...okay, habe ich bis hierhin einen fehler gemacht? so komme iwie nicht auf das gewünschte oder??!!!

Lieben Dank für eure Hilfe

Madame

31.10.2010, 14:30

klarsoweit

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RE: Induktion

Zitat:

Original von Madame
Jetzt kommt der Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{a} \sum\limits_{k=0}^{n} a^{n-k}*b^{k}= \frac{a-b}{a} \sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{n-k}*b^{k}+ \frac{a-b}{a}* a*b^{n} \end{eqnarray*}$ .

Da hast du auf der rechten Seite beim 2. Summanden einen Fehler gemacht.

01.11.2010, 14:53

Madame

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RE: Induktion
Achso okay.

Es muss heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{a} \sum\limits_{k=0}^{n} a^{n-k}*b^k = \frac{a-b}{a}\sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{n-k}*b^k +\frac{a-b}{a}*b^n \end{eqnarray*}$

oder?

ich setzt hier ja für k n ein. und dann ist a^(n-n) = a^0 = 1.

Ist das der einzige Fehler, oder gibt es noch einen bei diesem schritt??
Liebe Grüße

01.11.2010, 14:59

klarsoweit

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RE: Induktion
Das ist jetzt ok. Du kannst nun mit dem Einsetzen der IV weitermachen.

02.11.2010, 09:17

Madame

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RE: Induktion
...ich erhalte dann als ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a} \end{eqnarray*}$ .

Ich bin jetzt etwas verwirrt, ob das a, durchd as geteilt wird, richtig ist. Liegt das daran, dass ich 1/a nach vorne gezogen habe?!

grüße
madame

02.11.2010, 09:37

klarsoweit

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RE: Induktion

Zitat:

Original von Madame
$\begin{eqnarray*} \frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a} \end{eqnarray*}$ .

Das sollte wohl $\begin{eqnarray*} \frac{a^{n+1} - b^{n+1}}{a} \end{eqnarray*}$ sein.

Zitat:

Original von Madame
Ich bin jetzt etwas verwirrt, ob das a, durchd as geteilt wird, richtig ist. Liegt das daran, dass ich 1/a nach vorne gezogen habe?!

Richtig. Du hattest mit $\begin{eqnarray*} \frac{a-b}{a} \sum\limits_{k=0}^{n} a^{n-k}*b^{k} \end{eqnarray*}$ angefangen. Setze das nun mit $\begin{eqnarray*} \frac{a^{n+1} - b^{n+1}}{a} \end{eqnarray*}$ gleich und mutlipliziere die Gleichung mit a.

02.11.2010, 10:38

Madame

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RE: Induktion
ja, genau. ich habe mich verschrieben.
danke für deine hilfe! Freude

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