Ringhomomorphismen

12.11.2006, 23:19

CL300678

Ringhomomorphismen

Hallo,

ich hänge total bie folgender Aufgabe:

Bestimme für die folgenden Paare (A,B) von Ringen alle möglichen Ringhomomorphismen $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ : A-> B und gebe ggf. auch Kern( $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ) an:

( $\begin{eqnarray*} \mathbb Z\ \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{12}\ \end{eqnarray*}$ ) ; ( $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{12}\ \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb Z\ \end{eqnarray*}$ ) ; ( $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_m\ \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_n\ \end{eqnarray*}$ ) mit 1<m,n aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Z\ \end{eqnarray*}$ .

12.11.2006, 23:25

therisen

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Ähm, was ist zu zeigen?

12.11.2006, 23:51

CL300678

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Edit: Ups. Wollte Vorschuau machen und hatte schon erstellt. Jetzt aber.

13.11.2006, 01:30

irre.flexiv

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Tja was zeichnet den einen Ringhomomorphismus aus? Damit sollte es nicht zu schwer werden.

13.11.2006, 22:51

CL300678

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Zitat:

Original von irre.flexiv
Tja was zeichnet den einen Ringhomomorphismus aus? Damit sollte es nicht zu schwer werden.

Ja, die Bedingungen kenn ich wohl. Bringt mich aber auch nicht weiter.

Noch jemand da, der mir helfen kann. Brauch die Lösung morgen früh.

13.11.2006, 22:56

Mathespezialschüler

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Also für einen solchen Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi:\mathbb Z\to\mathbb Z_{12} \end{eqnarray*}$ muss ja $\begin{eqnarray*} \varphi(0)=0 \end{eqnarray*}$ gelten. Jetzt sagst du einfach, es sei $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb Z_{12} \end{eqnarray*}$ beliebig und $\begin{eqnarray*} \varphi(1):=a \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ dadurch eindeutig bestimmt?

Gruß MSS

13.11.2006, 23:25

CL300678

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Also meiner ansich nach, muss gelten:

p(a+b)=p(a)+p(b)
p(ab)=p(a)p(b)
p(1)=1

p(0)=0 habe ich nirgends als Bedingung gefunden.

13.11.2006, 23:34

Mathespezialschüler

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Sorry, hab das grad mit dem Gruppenhomomorphismus verwechselt.
Die Gleichung $\begin{eqnarray*} \varphi(1)=1 \end{eqnarray*}$ gilt ja auch nur für unitäre Ringe (wo die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ja auch nur existiert). Wegen

$\begin{eqnarray*} \varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b) \end{eqnarray*}$

folgt für $\begin{eqnarray*} c:=\varphi(0) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a=b=0 \end{eqnarray*}$ aber auch:

$\begin{eqnarray*} c=\varphi(0)=\varphi(0+0)=\varphi(0)+\varphi(0)=c+c \end{eqnarray*}$ ,

also $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \varphi(0)=0 \end{eqnarray*}$ . Ok, wir haben jetzt $\begin{eqnarray*} \varphi(1)=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \varphi(0)=0 \end{eqnarray*}$ und die Gesetze

$\begin{eqnarray*} (1)\quad\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2)\quad\varphi(a\cdot b)=\varphi(a)\cdot\varphi(b) \end{eqnarray*}$ .

Was ist denn dann $\begin{eqnarray*} \varphi(2) \end{eqnarray*}$ und was damit allgemein $\begin{eqnarray*} \varphi(n) \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

01.11.2008, 18:17

c130

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ringhomomorphismen
phi von n wird ja dann auf n abgebildet....aber wie gibt man dann den ringhomomorphismus an.....

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