Wie liest man die Reflexivität?

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bandchef Auf diesen Beitrag antworten »
Wie liest man die Reflexivität?
Hi Leute!

Die Reflexivität einer binären Relation R ist ja laut meiner Formelsammlung so definiert:

reflexiv falls,

Gesprochen heißt dass dann doch: für alle x in der Menge A, ... und wie liest man hier dann weiter?

Könnt ihr mir helfen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn alle Elemente aus A zu sich selbst in Relation stehen.

Oder wörtlich: für alle x in der Menge A steht x in Relation zu x.
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich nun folgende aufgabe hab:

A ist Menge der Zahlen Z.

R={(x,y) \in A | x+y ist eine gerade Zahl}

Dann ist R doch reflexiv, da x in Relation zu sich selbst steht oder?
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich nun die gleiche Aufgabe auf "symmetrisch" überprüfen soll gilt ja:



Hier weiß ich aber jetzt nichts damit anzufangen. Der Pfeil zwischen xRy und yRx ist ja in der Aussagenlogik eigentlich eine Implikation. Wie übertrage ich das nun hier auf meine Aufgabe?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Relation ist reflexiv, allerdings solltest du das noch weiter begründen.

Symmetrisch: Wenn x in Relation zu y steht, dann steht auch y in Relation zu x oder: .
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Wie begründet man die Reflexivität noch weiter?
 
 
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Kurz zur Symmetrie: Wenn gilt dann gilt auch , da sich x und y auf den gleichen Zahlenbereich nämlich Z beschränkt, oder?

Jetzt hab ich aber wahrscheinlich das gleiche Problem wie bei der Reflexivität, dass ich noch weiter begründen muss, oder?

Gleich Frage wie vorher: Wie mache ich das dann?
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigung, aber ich hab meine Aufgabe falsch gestellt:

Sie muss so lauten:

A ist Menge der Zahlen Z.

R={(x,y) \in A | x+y ist eine ungerade ganze Zahl}

Nun sollte aber immer noch gelten dass die aufgabe Reflexiv ist, da es ja nichts am Zahlenbereich ändert...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte vermeinde solche hässlichen Doppel- und Dreifachposts.

Zitat:
Original von bandchef
R={(x,y) \in A | x+y ist eine ungerade ganze Zahl}

Nun sollte aber immer noch gelten dass die aufgabe Reflexiv ist, da es ja nichts am Zahlenbereich ändert...


Nein, dann ist die Relation natürlich nicht mehr reflexiv geschockt

Was würde es bedeuten, wenn die Relation reflexiv wäre, wenn liegen würde?

Edit: Und es kann gern jemand übernehmen, ich bin gleich weg.
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Bedeutet das dann das die Aufgabe auch gerade Zahlen liefern würde, oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aussage kann ich grad nicht ganz umsetzen...


Wenn die Relation reflexiv wäre, wäre , welche Bedingung ist denn jetzt an ein Paar gestellt, damit es in der Relation enthalten ist, erfüllen alle Paare diese Bedingung?
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Damit ein paar (x,y) eine ungerade Zahl liefert, muss eine Zahl ungerade und eine Zahl gerade sein.

Die ganzen Zahlen sind ja so definiert:

Wenn ich nun irgendeine Zahl x plus die (gleiche) Zahl x rechne, kommt man immer auf eine positive Zahl welche entgegen der geforderten Aussage "x+y ist eine ungerade ganze Zahl" ist. Daraus folgt nun "ist nicht reflexiv", oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, oder anders gesagt: ist gerade für alle x, also nicht in der Relation enthalten.

Für die Symmetrie solltest du dir mal Gedanken über das Kommutativgesetz machen.
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

diese, ich nenne sie mal Aussage, "x+y ist eine ungerade ganze Zahl" ist die eigentlich Relation in der die Zahlen x und y zueinander stehen sollen, oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, diese Bedingung muss erfüllt sein, damit x in Relation zu y steht.
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Zur symmetrie:

x + y = y + x

Hier ist aber dann dennoch noch nicht gesagt, ob das dann immer eine ungerade ganze Zahl liefert wie gefordert ist, oder?

Es muss hier wieder x oder y eine ungerade Zahl sein. Also sage ich: es ist nicht symmetrisch.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Symmetrie bezieht sich nur auf Elemente, die in der Relation sind.
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry deine letzte Antwort verstehe ich nicht.

In der Relation (also, x+y ist eine ungerade ganze Zahl) sind die Elemente x und y welche in Z liegen.

Wie bezieht sich darauf nun die Symmetrie...?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Symmetrie ist nur für die Elemente relevant, die in der Relation enthalten sind. Lies dir die Definitionen zur Reflexivität und Symmetrie nochmal durch, die Reflexivität bezieht sich auf die Grundmenge auf der die Relation definiert ist, die Symmetrie interessiert sich nur für die Elemente die in der Relation drin liegen.

Und ich bin jetzt erstmal weg, wer will darf gerne übernehmen.
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Die Reflexivität bezieht sich auf die Grundmenge A welche die Menge der ganzen Zahlen ist. Wie wir schon wissen ist die Aufgabe somit nicht reflexiv.

Die Symmetrie bezieht sich auf die Elemente der Relation. In diesem Fall also und ; die Grundmenge A ist nach wie vor die Menge der ganzen Zahlen . Das bedeutet, dass x+y wieder eine gerade Zahl ergeben muss, womit dei Relation nicht zutrifft und es gilt: die Relation ist nicht symmetrisch.

Stimmt das soweit?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

An den Aussagen stimmt kaum etwas. unglücklich

Zitat:
Original von bandchef
Wie wir schon wissen ist die Aufgabe somit nicht reflexiv.


Die Aufgabe ist sowieso nicht reflexiv, die Relation ist nicht reflexiv. Aber auch nicht deshalb, weil die Relation auf definiert ist. Damit zwei Zahlen in Relation stehen, muss eine ungerade Zahl sein. Reflexiv heißt, dass jede Zahl zu sich selbst in Relation steht, für diesen Fall müsste also eine ungerade Zahl sein, was offensichtlich nicht der Fall ist.

Nun zur Symmetrie:

Zitat:
Original von bandchef
Die Symmetrie bezieht sich auf die Elemente der Relation. In diesem Fall also und ; die Grundmenge A ist nach wie vor die Menge der ganzen Zahlen . Das bedeutet, dass x+y wieder eine gerade Zahl ergeben muss, womit dei Relation nicht zutrifft und es gilt: die Relation ist nicht symmetrisch.


Hier ist so gut wie gar nichts richtig.

Du betrachtest jetzt die Zahlenpaare , die in der Relation liegen, d.h. die Zahlenpaare, die erfüllen. Mit der Kommutativität der Addition auf folgt dann sofort die Symmetrie der Relation.
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