Potenzmenge und charakteristische Funktion

31.10.2010, 15:05

jona.stone

Potenzmenge und charakteristische Funktion

Hallo Leute!

Habe folgende Aufgabenstellung:

M ist eine nichtleere Menge, P(M) ist die Potenzmenge.

Es gibt die Menge aller Abbildungen von M nach {0,1}
{g | g : M -> {0,1} }

A ist eine Teilmenge von M
Die charakteristische Funktion x von A ist
$\begin{eqnarray*} x_{A} (x) = \end{eqnarray*}$ { 1, für x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A; 0 für x kein $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ A

Ich soll beweisen:
Die Abbildung f: P(M) -> {g | g : M -> {0,1} } mit f(A) := $\begin{eqnarray*} x_{A} \end{eqnarray*}$
ist bijektiv.

--
Meine Überlegungen:

Es gibt $\begin{eqnarray*} 2^{|M|} \end{eqnarray*}$ mögliche Abbildungen
Also angenommen M = {1,2} , dann wären alle möglichen Abbildungen auf {0,1}:
1 -> 0 und 2 -> 1
1 -> 1 und 2 -> 0
1,2 -> 1 und leere Menge -> 0
1,2 -> 0 und leere Menge -> 1

sind genau 2^2 = 4 Abbildungen. Das stimmt, oder?

Der Funktion f gebe ich eine Teilmenge A von M, die auf ihre charakteristische Funktion abgebildet wird.
also f ( {1} ) = $\begin{eqnarray*} x_{\{1\}} \end{eqnarray*}$
Damit bilde ich eine Menge auf eine Funktion ab.
1) Geht das überhaupt?

2) Ob es reicht, wenn ich beweise, dass die Anzahl der Abbildungen gleich der Anzahl der Teilmengen ist?

3) Wie gehe ich jetzt den Beweis an, zu sagen, die Abbildung sei bijektiv? Mir fehlt eine Ecke zum Anpacken (es gibt so viele^^)

4) Was passiert, wenn ich so etwas wie: $\begin{eqnarray*} x_{\{1,2\}} (x) \end{eqnarray*}$
habe? Die charakteristische Funktion gibt mir ja nur für Elemente die Werte 1 oder 0 zurück, nicht aber für Mengen? Aber vllt für jedes Element der Menge - wenn ja, wie schreibt man das auf?

Danke schonmal an jene, die bis hier gelesen haben! Wenn ihr mir jetzt noch ein bisschen auf die Sprünge helfen könntet ware das super!

31.10.2010, 16:44

pseudo-nym

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Zitat:

Original von jona.stone
Es gibt $\begin{eqnarray*} 2^{|M|} \end{eqnarray*}$ mögliche Abbildungen

Hast du dabei beachtet, dass M auch unendlich viele Elemente haben kann?

Zitat:

Original von jona.stone
1,2 -> 1 und leere Menge -> 0
1,2 -> 0 und leere Menge -> 1

Die leere Menge ist kein Element von M und wird von deiner Abbildung deswegen weder Null noch auf Eins zugeordnet.
Kennst du das Konzept vom Bild einer Teilmenge des Definitionsbereiches?

zu 1)
Der Definitionsbereich deiner Funktion f ist eine Potenzmenge, also eine Menge deren Elemente wieder Mengen sind.
Eine Funktion bildet Elemente des Definitionsbereich ab. In diesem Fall geht es also gar nicht anders, als das du Mengen abbildest. Es ist ja sonst nichts zum abbilden da.

zu 2)
Das wäre äquivalent, allerdings gilt es auch hier zu beachten, dass die beiden Mengen unendlich viele Elemente haben können.
Habt ihr den Begriff der (Gleich-)mächtigkeit behandelt? Dieser verallgemeintert den Begriff der "Größe von Mengen" auf den unendlichen Fall.

zu 3)
Überlege dir wie Bijektivität definiert ist.

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