Äquivalenzrelation zeigen

31.10.2010, 15:22

idontknowatall

Äquivalenzrelation zeigen

Hallo. Ich sitze hier vor einer Aufgabe unseres zweiten Übungszettels und weiß nicht so genau was ich damit anfangen soll:

Seien $\begin{eqnarray*} x_{1},...,x_{n} \end{eqnarray*}$ Teilmengen der Menge X mit folgenden Eigenschaften:

(1) $\begin{eqnarray*} X_{1} \neq \left\{ \right\} \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} X_{i} \cap X_{j} = \left\{ \right\} \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} X = X_{1}\cup ...\cup X_{n} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x,y\in X \end{eqnarray*}$ sei x~y genau dann, wenn es ein $\begin{eqnarray*} i\in \left\{ 1,...,n\right\} \end{eqnarray*}$ gibt mit x,y $\begin{eqnarray*} \in X_{i} \end{eqnarray*}$

Zeige das ~ eine Äquivalenzrealtion ist, und bestimme die Äquivalenzklasse [x] und den Quotienten X/~

Wir müssen also Zeigen, dass ~ refelxiv, symetrisch und transistiv ist.
Allerdings bin ich mir schon bei der Definition für ~ nicht so sicher: besteht die Relation in dem Fall wirklich nur da raus das x,z in einer der Untermengen enthalten sein müssen?

Ich habe bis jetzt folgendes aufgeschrieben:

x~x da x $\begin{eqnarray*} \in X_{i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{i}\cap X_{j} = \left\{ \right\} \end{eqnarray*}$
Das sol heißen x kann nur in einer Menge gleichzeitig vorkommen (Reflexiv?).

Um Einstiegshilfe wäre ich sehr dankbar smile

...

01.11.2010, 09:18

Reksilat

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RE: Äquivalenzrelation zeigen

Zitat:

Original von idontknowatall
Ich habe bis jetzt folgendes aufgeschrieben:

x~x da x $\begin{eqnarray*} \in X_{i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_{i}\cap X_{j} = \left\{ \right\} \end{eqnarray*}$
Das sol heißen x kann nur in einer Menge gleichzeitig vorkommen (Reflexiv?).

Hier tauchen i und j auf, welche Du zuvor gar nicht definiert hast. Das versteht dann keiner.
Für die Reflexivität musst Du doch nur zeigen, dass es für beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} i\in\{1,..,n\} \end{eqnarray*}$ gibt, mit $\begin{eqnarray*} x\in X_i \end{eqnarray*}$ .

Dies folgt aber direkt aus einer Deiner Voraussetzungen (1)-(3). Aus welcher?

Gruß,
Reksilat.

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