Verschoben! Wie überprüfe ich folgende Ungleichung durch Rechnen?

31.10.2010, 15:49

Azurech

Wie überprüfe ich folgende Ungleichung durch Rechnen?

Meine Frage:
Hallo,
die Aufgabe lautet:

Rechnen Sie nach, da für reelee Zahlen a,b stets gilt:

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{a+b}{2} \right)^{2}\leq \frac{a²+b²}{2} \end{eqnarray*}$

Ich versteh nicht so ganz, wie genau ich das nun beweisen soll.

Meine Ideen:
Soll ich das nun ausrechnen oder vereinfachen?

31.10.2010, 17:42

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wie überprüfe ich folgende Ungleichung durch Rechnen?
Etwas Ausprobieren könntest du aber schon.

Rechne links die Klammer aus, multipliziere die Ungleichung mit 4 und bringe dann alles auf die rechte Seite. Der Rest ist scharfes Hingucken.

31.10.2010, 18:12

Azurech

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, rumgerechnet hab ich schon. Nur ich weiß bei so einer Aufgabenstellung nicht, wann ich fertig bin^^

Hab nun:

$\begin{eqnarray*} a^{2} + b^{2} \leq 2\left(a^{2} + b^{2}\right) \end{eqnarray*}$

So, man sieht ja (denke ich), dass egal was man einsetzt, die Ungleichung erfüllt wird, oder?
Aber reicht das dann so?
Oder wie schreib ich da ein Ergebnis?

Und wenn ich alles auf die rechte Seite bringe, bleibt doch da einfach:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq a^{2} + b^{2} \end{eqnarray*}$

31.10.2010, 22:52

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Azurech
Hab nun:

$\begin{eqnarray*} a^{2} + b^{2} \leq 2\left(a^{2} + b^{2}\right) \end{eqnarray*}$

Da hast du auf der linken Seite was falsch gerechnet. Stichwort: binomische Formel.

Scheint mir aber ehrlich gesagt keine Hochschulmathe zu sein.

31.10.2010, 23:06

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Deshalb

*** verschoben ***

mY+

31.10.2010, 23:12

Azurech

Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung ob das Hochschulmathe ist, zu mindestens studiere ich und da hab ich in Mathe diese Aufgabe bekommen.^^

Weiß nicht wo ich mich verechnet hab.

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{a+b}{2} \right)^{2}\leq \frac{a²+b²}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2+b^2}{4} \leq \frac{a^2+b^2}{2} \end{eqnarray*}$ | *4 | und links direkt 4 wegkürzen

$\begin{eqnarray*} a^2+b^2 \leq \frac{4\left(a^2+b^2\right) }{2} \end{eqnarray*}$ da kann man rechts kürzen

und dann kam mein Ergebnis raus, was ich ja schon geschrieben hab.

Wo ist der Fehler? Bin wohl mal wieder blöd bei so einfachen Dingen.

31.10.2010, 23:14

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Du bleibst beharrlich bei deinem Fehler Big Laugh

, klarsoweit hat dir den Tipp gegeben: Binomische Formel!

$\begin{eqnarray*} (a + b)^2 \neq a^2 + b^2 \end{eqnarray*}$

Na?

mY+

31.10.2010, 23:21

Azurech

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach nein! Wie blind.
Rechne ich mal eben nach.

Edit:
Ach, ich glaub das ist zu spät^^ Wahrscheinlich hab ich wieder ein Fehler drin:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^2+2ab+b^2}{4} \leq \frac{a^2+b^2}{2} \end{eqnarray*}$

dann mal 4 und kürzen

$\begin{eqnarray*} a^2+2ab+b^2 \leq 2\left(a^2+b^2\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2+2ab+b^2 \leq 2a^2+2b^2 \end{eqnarray*}$

So. Wenn es bis dahin richtig wäre, was dann?
Ich meine, ich weiß immer noch nicht, was mein Ziel bei diesem Beweis ist, also wo meine Rechnung zu Ende ist.

01.11.2010, 08:13

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Azurech
So. Wenn es bis dahin richtig wäre, was dann?

Das hatte ich auch schon gesagt: bringe alles auf die rechte Seite und dann scharfes Hingucken. Vielleicht hast du den Ausdruck schon mal irgendwo gesehen.

01.11.2010, 11:17

Azurech

Auf diesen Beitrag antworten »

Achja.

Ok, wenn mich nichts täuscht, haben wir nun rechts die 2. binomische Formel stehen.

$\begin{eqnarray*} 0 < (a-b)^2 \end{eqnarray*}$

Aber ist das nun die Lösung?^^

Ich soll ja zeigen, dass die erste Gleichung für a, b immer gilt anhand meiner Rechnung.
Zeige ich das jetzt dadurch?
Also es stimmt ja. Egal was ich für a und b einsetze es ist größer/gleich 0.
Aber ist das nun so mein Ende? Mehr schreib ich da nicht zu?

01.11.2010, 11:28

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Quadrat jeglicher reellen Zahl ist immer größer oder gleich Null. Deswegen ist die gegebene Ungleichung für alle a, b richtig.

Bei dir steht nur das Kleiner-Zeichen! Das ist nicht ganz richtig. Es ist auch das Gleichheitszeichen in $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ zugelassen!

mY+

01.11.2010, 11:34

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Azurech
Aber ist das nun so mein Ende? Mehr schreib ich da nicht zu?

Ein paar warme Worte sind natürlich immer angebracht. Und der eigentliche Beweis geht im Grunde rückwärts. Du nimmst die wahre Aussage 0 <= (a - b)² und folgerst daraus die zu beweisende Aussage.

01.11.2010, 11:39

Azurech

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar! Dann sag ich mal Dankeschön für die Hilfe und Geduld und ich werde mir heute Vollständige Induktion gönnen ^^

Neue Frage »

Antworten »

Verschoben! Wie überprüfe ich folgende Ungleichung durch Rechnen?

Verwandte Themen