Vollständige Induktion

31.10.2010, 17:36

DerGobbler

Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hallo zusammen,
Ich muss mit vollständiger Substiution beweisen, dass ?_(k=1)^n? verwirrt

1+2/k?)=?_(k=1)^(n+1)?k für alle n element der natürlichen Zahlen gilt.

Meine Ideen:
Nun bin ich bis zum Beweis gekommen, dort muss ich beweisen, dass ?_(k=1)^(n+1)??k (1+2/(n+1)?)=?_(k=1)^(n+2)?k. Und hier finde ich keinen Ansatz um zu zeigen, dass bei Seiten wirklich gleich sind...

31.10.2010, 17:44

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion
Viele entziffern kann ich da nicht. Versuch es mal mit Latex:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(1 + \frac 2 k) = ... \end{eqnarray*}$

31.10.2010, 17:51

DerGobbler

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RE: Vollständige Induktion
[latex]∏_(k=1)^n▒&#12310 traurig

1+2/k&#12311 Augenzwinkern

=∑_(k=1)^(n+1)▒k

31.10.2010, 18:04

DerGobbler

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RE: Vollständige Induktion
$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^n (1+\frac{2}{k}) = \sum\limits_{k=1}^{n+1}k \end{eqnarray*}$
ist die Ausgangsaussage

nun muss ich beweisen, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k \cdot (1+\frac{2}{n+1}) = \sum\limits_{k=1}^{n+2} k \end{eqnarray*}$

31.10.2010, 22:47

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von DerGobbler
nun muss ich beweisen, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k \cdot (1+\frac{2}{n+1}) = \sum\limits_{k=1}^{n+2} k \end{eqnarray*}$

Hää?

Wenn ich in der Ausgangsaussage alle n durch n+1 ersetze, steht bei mir aber was anderes da.

01.11.2010, 20:07

DerGobbler

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RE: Vollständige Induktion
ja stimmt, aber dann muss ich ja beweisen, dass der rechte teil der Ausgangsaussage sich um den selben Faktor verändert wie der linke

und das zeige ich ja indem ich rechts (n+1) in den Summenterm eingesetzt habe

und links den teil zum Ausgangssummenterm multipliziere, um den sich der Term mit dem Produktzeichen im vergleich zum Ausgangsproduktterm geändert hat

mit Summenterm meine ich den Teil mit dem Summenzeichen :P

Hoffe man kann das verstehen, was ich hier geschrieben habe..

02.11.2010, 10:33

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion
Komplizierter beschreiben ging nicht? Aber ich habe es jetzt verstanden, was du meinst.

Schreibe: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k \cdot (1+\frac{2}{n+1}) = \sum\limits_{k=1}^{n+1} k + \frac{2}{n+1} \cdot \sum\limits_{k=1}^{n+1} k \end{eqnarray*}$

Auf die 2. Summe mußt du die bekannte Summenformel $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ anwenden.

02.11.2010, 14:55

DerGobbler

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RE: Vollständige Induktion
Ach Mist, stimmt genau das hat gefehlt...
Bin nur nicht drauf gekommen :P
Vielen Dank

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