Zufallsvariablen und deren Verteilung beim Ziehen von Losen bestimmen

31.10.2010, 19:07	Zitrone21	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvariablen und deren Verteilung beim Ziehen von Losen bestimmen Hallo zusammen. Ich habe eine Übungsaufgabe von meinem aktuellen Stochastikblatt bearbeitet, aber habe das Gefühl, das ich bei der Aufgabe zu wenig gemacht (oder alles falsch) habe. Aufgabe: In einer Urne befinden sich $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ Lose, die mit den Zahlen 1,2, ..., N nummeriert sind. Es werden gleichzeitig $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Lose ( $\begin{eqnarray} 1 < n < N \end{eqnarray}$ ) gezogen. Bestimmen Sie jeweils die Verteilung der kleinsten und der größten dabei gezogenen Zahl. Die Zufallsvariable X gebe die kleinste gezogene Zahl, die Zufallsvariable Ydie größte gezogene Zahl an. Meine Lösung: $\begin{eqnarray} \Omega = \left\{ (\omega_1, ..., \omega_N)\|\omega_i \in \left\{ Los nicht gezogen= 0, Los gezogen = 1\right\} mit \quad 1 \leq \sum\limits_{u=1}^N \omega_i \leq n\right\} \end{eqnarray}$ E entspricht "Eine Ziehung von n Losen" $\begin{eqnarray} E \in \Omega \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X: \Omega \mapsto \left\{ 1,..., N - n \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X(E) = min_{1 \leq i \leq n} \left\{ \omega_i = 1\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y: \Omega \mapsto \left\{ n,..., N \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Y(E) = max_{1 \leq i \leq n} \left\{ \omega_i = 1\right\} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} B = \left\{ 1,...,N-n\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P^x(B) = P(X^{-1}(B)) = \left\{ (\omega_1,...,\omega_N) \| \omega_i \in \left\{ 0,1\right\} und \sum\limits_{i=1}^N \omega_i = n \quad mit \quad min_{1 \leq i \leq n} \left\{ \omega_i = 1\right\} \in B \right\} \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} D = \left\{ 1,...,N\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P^x(D) = P(X^{-1}(D)) = \left\{ (\omega_1,...,\omega_N) \| \omega_i \in \left\{ 0,1\right\} und \sum\limits_{i=1}^N \omega_i = n \quad mit \quad max_{1 \leq i \leq n} \left\{ \omega_i = 1\right\} \in D \right\} \end{eqnarray}$ Habe ich hier überhaupt was sinnvolles gemacht? Ich habe mir unsere Definitionen von Zufallsvariable und Verteilung angeguckt und entsprechend eingesetzt. Konkreter kann ich aber vermutlich doch gar nicht werden, oder irre ich?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »