ax²+bx+c in Scheitelpunktform unwandeln.

31.10.2010, 19:30

Venox

ax²+bx+c in Scheitelpunktform unwandeln.

Hallo liebe Community

Ich kann zwar die Normalform in die Scheitelpunktform umwandeln aber ich schaffe es nicht wenn ich Buchstaben einsetze.

Ich habe es erstmal so versucht.

ax²+bx+c=y I a ausklammern
a(x²+bx/a+c/a I dann versuche ich quadratisch zu ergänzen
a(x²+bx/a + (0,5 bx/a)²-(0,5bx/a)² + c/a
a(x+0,5 b/a)²- (0,5bx/a) ² + c/a

jetzt muss ich den hinteren teil addieren und mit a muliplizieren und ich hätte die Scheitelpunktform... ich schaffe es aber nicht. habs schon verscuht -(0,5bx/a)² in -(0,5bx/a) * -(0,5bx/a) zu zerlegen um es mir zu vereinfachen.

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen. Ich hoffe ich hab die Klammern richtig gesetzt weil ich da eine schwäche habe x)

ahja und wie teile ich nochmal ein bruch? 0,5 davor zu schreiben ist etwas umständlich x)

31.10.2010, 19:42

mYthos

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Es ist besser, den Faktor a nur aus dem quadratischen und linearen Term auszuklammern.

$\begin{eqnarray*} f(x) = a(x^2 + \frac b a x) + c \end{eqnarray*}$

In der Klammer ist nun quadratisch zu ergänzen.

EDIT: Ich hatte leider eine 2 vergessen und diese nun eingefügt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = a(x^2 + 2 \cdot \frac b {2a} x + \ldots) + c - \ldots \end{eqnarray*}$

Siehe auch aktuell dazu

Parabel zeichnen

mY+

Ach ja, $\begin{eqnarray*} \frac a b \ : \ 2 = \frac a {2b} \end{eqnarray*}$

31.10.2010, 20:40

Venox

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Okay dann würde da stehen:

a(x²+b/2ax+ (b/2a)²) -((b/2a)²) + c ?

wenn ja wie multipliziere ich nun die -((b/2a)²) mit a?
Und kann ich das am ende immer noch zusammen rechnen? weil ich gelernt habe erst zusammezurechnen und dann mit a mal zu rechnen.

31.10.2010, 21:33

corvus

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Zitat:

Original von mYthos

$\begin{eqnarray*} f(x) = a(x^2 + \frac b a x) + c \end{eqnarray*}$

In der Klammer ist nun quadratisch zu ergänzen.

$\begin{eqnarray*} f(x) = a(x^2 + \frac b {2a} x + \ldots) + c - \ldots \end{eqnarray*}$

mY+

@mYthos:
na ja , das sollte wohl doch eher so aussehen:

In der Klammer ist nun quadratisch zu ergänzen.
$\begin{eqnarray*} f(x) = a(x^2 + \frac b {a} x + \ldots) + c - \ldots \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} f(x) = a(x^2 + \frac b {a} x + ...) + c - \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = a(x^2 + \frac b {a} x + \frac{b^2}{4a^2} ) + c - ... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = a(x + ? )^2 + ( c - ... ) \end{eqnarray*}$

@Venox:
dein -((b/2a)²) ist nicht richtig..
wenn du die Kammer a*(x + ? )^2 wieder probeweise ausmultiplizierst,
dann siehst du vielleicht besser, was du hinten beim c - .. wegnehmen solltest.

.

31.10.2010, 22:21

mYthos

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Den fehlenden Faktor 2 habe ich nun eingefügt.
Danke für die Korrektur!

mY+

01.11.2010, 10:53

Venox

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mhh ich verstehe nicht ganz, wieso jetzt b/2ax zu 2(b/2ax) wird. Das ich dann am ende die zweien kürzen kann ist mir aber klar. Ist die bionomische Formel nicht a²+2ab+b²? . Da würde da jetzt doch a²+ 4ab + b² sein..

Und wie kommen sie auf B²/4a² ? ach ich bin so doof Big Laugh

hab auch versucht die von corvus gesteltl aufgabe auszumulitplizieren.

also a(x+?)²

a(x+?)*(x+?)

ax²+ax?+ax?+?²

ax²+2ax?+?² ist das richtig?. Und was soll mir jetz auffallen? unglücklich

01.11.2010, 11:02

mYthos

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(b/(2a))*x war leider nicht richtig, deswegen musste das ja korrigiert werden.
Du kannst dir aber leicht merken: Die quadratische Ergänzung ist immer das Quadrat des halben Koeffizienten des linearen Gliedes. [Korr. mY+]

Also z.B. bei $\begin{eqnarray*} x^2 + 3x + \ldots \ \to x^2 + 3x + (\frac 3 2)^2 = (x + \frac 3 2)^2 \end{eqnarray*}$ , denn 3 = 2 * 3/2

Übrigens, die Formel dazu lautet $\begin{eqnarray*} (a + b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2 \end{eqnarray*}$

mY+

01.11.2010, 13:05

corvus

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Zitat:

Original von mYthos

..merken: Die quadratische Ergänzung ist immer das Quadrat des halben linearen Gliedes.

mY+

hm .. Die quadratische Ergänzung
ist immer das Quadrat der halben Vorzahl des linearen Gliedes.

also, wie schon gesagt, wäre es weniger verwirrend mit:

$\begin{eqnarray*} f(x) = a(x^2 + \frac b {a} x + ...) + c - \ldots \end{eqnarray*}$

die Vorzahl des linearen Gliedes ist b/a
die halbe Vorzahl dann b/(2a)
und dessen Quadrat gibt dann die qadratische Ergänzung (siehe oben) :

$\begin{eqnarray*} f(x) = a \cdot (x^2 + \frac b {a} x + \frac{b^2}{4a^2} ) + c - ... \end{eqnarray*}$

@ Venox :
versuche jetzt noch dies zu verifizieren:
und dann folgt im letzten Schritt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = a \cdot (x + \frac{b}{2a} )^2 + ( c - \frac{b^2}{4a} ) \end{eqnarray*}$

smile

01.11.2010, 15:31

Venox

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ich verstehe nicht wie b/2a durch quadrieren zu b²/4a² wird... (Hab die Potenzgesetze nicht drauf )
ich könnte vermuten, wenn man ein bruch quadriert alle drin quadrieren muss?
b wird zu b²
2 wird zu 4
und a zu a²? Das wär aufjedenfall eine logische Schlussfolgerung für mich Big Laugh

und wäre dann (b/2a)² nicht das selbe?

und ich hab noch ne frage an corvus rechnung... in deinem letzen schritt steht
c- (b²/4a) fehlt da nicht das hochzwei hinter 4a? also so --> c-(b²/4a²)

Die Aufgabe heißt:
Von y=ax²+bx+c zur Scheitelpunktform y=a(x-d)²+e

Eine Parabel ist gegeben durch: y=ax²+bx+c mit a ungleich Null
Forme die Funktion in die Scheitelpunktform um. Welche Eingeschaften der Parabel kann man aus der Scheitelpunktform direkt ablesen?

Corvus, sie haben den letzen teil ja noch in klammenr da stehen, ist es möglich die klammer mit a aufzulösen?

und eigenschaften wie, gestauch, nach unten geöffnet etc kann ich bei Rechnungen mit Buchstaben doch gar nicht wissen ? xO

wäre es so richtig?:
f(x) ax²+bx+c
f(x)= a( x²+b/ax)+c
f(x)=a(x²+b/ax+b²/4a²)+c - b²/4a²
(f(x)=a(x+b/2a)²+c-(b²/4a²) ?

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