Funktionsuntersuchung Stetigkeit

31.10.2010, 20:52

Cheftheoretiker

Funktionsuntersuchung Stetigkeit

Hallo,

ich bin gerade dabei eine Funktion auf seine Stetigkeit zu untersuchen.
folgendermaßen bin ich vorgegangen.

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2}~{x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~{(2+h)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~{4+4h+h^2}=4 \end{eqnarray*}$

In meinem Buch steht nun, dass die Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=2 \end{eqnarray*}$ stetig ist.
Aber was bedeutet denn nun die 4? verwirrt

Ich habe den Begriff der Stetigkeit so verstanden, dass eine Funktion dann stetig ist, wenn man sie ohne absetzen des Stiftes zeichnen kann.

31.10.2010, 20:59

Kääsee

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Ist doch schon gut Freude

Du musst nur noch den Funktionswert an der Stelle 2 ausrechen und ihn mit dem Grenzwert vergleichen.
Denn die Funktion ist an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig, wenn Grenzwert und Funktionswert an dieser Stelle existieren und miteinander übereinstimmen.
Deine Definition mit dem Stift ist schon richtig, aber du musst dir noch überlegen, was das rechnerisch heißt Augenzwinkern

31.10.2010, 21:05

Cheftheoretiker

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Aha, also ist eine Funktion dann stetig, wenn Funktionswert und Grenzwert gleich sind?!
In dem Fall wäre es ja $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ wie auch der Grenzwert $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ ergibt.

Als Definition steht noch in meinem Buch,

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~{f(a+h)=f(a)} \end{eqnarray*}$

31.10.2010, 21:09

Kääsee

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Zitat:

Aha, also ist eine Funktion dann stetig, wenn Funktionswert und Grenzwert gleich sind?!

In der Tat Augenzwinkern

Und das sagt ja auch deine Definition.
Aber in deinem Buch steht doch $\begin{eqnarray*} \lim_ {h\to 0} \end{eqnarray*}$ , oder?

31.10.2010, 21:12

Cheftheoretiker

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Ja stimmt, habe mich verschrieben.

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~{f(a+h)=f(a)} \end{eqnarray*}$

Wie erklärt sich denn die Definition? verwirrt

31.10.2010, 21:16

Kääsee

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Die Funktion ist an der Stelle a stetig, wenn der Grenzwert an der Stelle a mit dem Funktionswert an der Stelle a übereinstimmt.

Du könntest auch schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to a}f(x)=f(a) \end{eqnarray*}$

31.10.2010, 21:19

Cheftheoretiker

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Ah, alles klar. Jetzt habe ich es verstanden. Tausend dank und einen schönen Abend.

hangman smile

31.10.2010, 21:23

Kääsee

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Bitte, bitte^^ Dir auch smile

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