Topologie und Geraden

31.10.2010, 21:59

Pier

Topologie und Geraden

Guten Abend miteinander!

Ich hätte eine Frage.
Angenommen, es sei G:= {g | g ist Gerade in IR^2}.
Könnte mir jemand (als Beispiel für eine Aufgabe) eine natürliche Topologie auf G vorschlagen?
Ich muss eine Behauptung zeigen, aber wenn ich nicht einmal ein Beispiel habe, ist das schwierig.. :P

31.10.2010, 22:08

gonnabphd

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Du könntest die Gerade parametrisieren und die Topologie von IR übernehmen. Oder die Unterraumtopologie von IR^2 übernehmen.

(kommt auf dasselbe hinaus für anständige Parametrisierungen)

31.10.2010, 22:29

Pier

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Wie meinst du das?
Einfach: y=ax + b ?

31.10.2010, 22:30

gonnabphd

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Ja, zum Beispiel. Und dann einfach diese Abbildung als Homeomorphismus interpretieren.

Aber normalerweise meint "natürlich" einfach die Unterraumtopologie.

31.10.2010, 22:41

Pier

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Eben - das "natürlich" stört mich ein wenig..
Wie sähe dann die Unterraumtopologie aus?

01.11.2010, 20:32

Pier

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Ah - nun hab' ich herausgefunden, warum ich "Unterraumtopologie" nicht kannte.
Wir nannten das "Teilraumtopologie" (..nach Wikipedia sollte das dasselbe sein =) )

Das heisst, man könnte auch folgendes angeben:
Sei X die Grundmenge eines topologischen Raumes $\begin{eqnarray*} (X, \mathcal O ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \subset X \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge. Dann kann man die gewünschte Topologie auch darstellen als:
$\begin{eqnarray*} \mathcal O_Y = \{ O \cap Y | O \in \mathcal O \} \end{eqnarray*}$

Das ist korrekt so, oder?

Meine nächste Frage wäre dann eben, wie man darauf kommt, dass G homöomorph zum Möbiusband ist.
..also ich weiss, dass man jede Gerade g in der Form
$\begin{eqnarray*} g = g_{\sigma, t} = \{ x \in \mathbb R^2 | <x, \sigma> = t \} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \sigma \in S^1, t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
darstellen kann..aber bis jetzt bin ich noch kein Krümelchen weiter..leider.

01.11.2010, 20:52

gonnabphd

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Ah, sorry! Ich hatte irgendwie die Frage total falsch gelesen und dacht du meintest mit G eine Gerade. Aber du meinst natürlich die Menge aller Geraden in IR^2!

Nochmal: Tut mir leid. Dann macht meine Antwort keinen Sinn... Hammer

Eine mögliche Topologie für (das richtige) G wäre, wenn man eine Äquivalenzrelation auf $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ einführt, indem man antipodale Punkte miteinander identifiziert und dann die Quotiententopologie nimmt.

Jede Gerade entspräche dann in natürlicher Weise einer Äquivalenzklasse.

Das nennt sich "real projective space", ist aber nicht homöomorph zum Möbiusband, da es lokal-euklidisch mit Dimension 1 ist...

Wie lautet denn die genaue Aufgabenstellung? Vielleicht würde mir dann ja was dazu einfallen.

01.11.2010, 21:33

Pier

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Du willst mir ja helfen - dann musst du dich sicherlich nicht entschuldigen! :-)

Hmm..das könnte ein Fehler von mir sein.
Die Behauptung ist, dass G homöomorph zum Möbiusband ist.

Die natürliche Topologie auf G hat damit eigentlich nichts zu tun.
Also wäre eine solche gesuchte Topologie zB $\begin{eqnarray*} [k] = k + 5 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?

02.11.2010, 19:36

Pier

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..also das ist schon so, dass G homöomorph zum Möbiusband ist, oder?
(..auf alle Fälle müssen wir zeigen, dass das wirklich gilt..)

02.11.2010, 21:16

gonnabphd

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Hmm, wie lautet denn nun die Aufgabenstellung genau?

"Zeigen Sie, dass G:= {g | g ist Gerade in IR^2} homöomorph zum Möbiusband ist."

wirds ja wohl nicht sein? Ist denn keine Angabe über die Topologie, welche man auf der Menge G einführt gegeben?

02.11.2010, 21:29

Pier

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Also, die gesamte Aufgabe lautet wir folgt:

Betrachte G:= {g|g ist Gerade in IR^2}

1.) Definiere eine natürliche Topologie auf G.

2.) Zeige: G ist homöomorph zum Möbiusband.
(Hierzu erhielten wir den Tipp, dass man jede Gerade g in der Form $\begin{eqnarray*} g = g_{\sigma, t} = \{ x \in \mathbb R^2 | <x, \sigma> = t \} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \sigma \in S^1, t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ darstellen kann.)

02.11.2010, 21:31

Pier

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Um deine letzten Zweifel zu beseitigen, hier die Original-Aufgabe:

[attach]16470[/attach]

03.11.2010, 13:56

gonnabphd

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Ok, ok, ich hätt's dir ja schon so geglaubt. Augenzwinkern

Das einfachste ist nun natürlich, erstmal eine Bijektion von G auf das Möbiusband zu finden und G genau so zu topologisieren, dass diese Bijektion zu einem Homöomorphismus wird.

Anschliessend kann man dann ja noch darüber diskutieren, ob diese Topologie "natürlich" ist oder nicht.

Mit dem Tipp wird auch klar, dass wir uns G als Äquivalenzklasse von 2-Tupeln $\begin{eqnarray*} (\theta, t) \end{eqnarray*}$ denken können, wobei $\begin{eqnarray*} \theta \in \mathbb S ^1, t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist, und die Äquivalenzrelation durch

$\begin{eqnarray*} (\theta, t) \sim (\tilde \theta, \tilde t) \; :\Leftrightarrow \; g_{\theta, t} = g_{\tilde \theta, \tilde t} \end{eqnarray*}$

gegeben ist.

Das Möbiusband ist bei euch dann wohl der Quotientenraum $\begin{eqnarray*} M :=\mathbb S^1 \times \mathbb R / \sim \end{eqnarray*}$ unter den Äquivalenzen $\begin{eqnarray*} (\theta, t) \sim (-\theta, -t) \end{eqnarray*}$ ?

Wenn nicht, würde ich erstmal zeigen, dass eure Definition homöomorph zu dieser ist.
Dann kannst du eine Abbildung finden von G auf M finden und G die passende Topologie verpassen.

In Bezug auf a) solltest du vielleicht diese Topologie noch ein bisschen beschreiben. "Wie sehen offene Mengen denn nun aus?"

Wink

03.11.2010, 18:10

Pier

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Also zum ersten Teil:
1.) Ist das also wirklich eine solche gesuchte ("natürliche") Topologie:
$\begin{eqnarray*} [k] = k + 5 \mathbb Z \end{eqnarray*}$
?

zu 2.)
Kann ich das wie folgt schreiben?

Jede Gerade in IR^2 trifft einen Kreis in genau einem Punkt. Die Punkte (ungleich 0) des Kreises entsprechen bijektiv den affinen Punkten in $\begin{eqnarray*} 1 \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ , der Punkt oo (unendlich) entspricht dem Nordpol 0 des Kreises.
Die Geraden entsprechen also bijektiv ihren Durchstosspunkten durch die Sphäre, mit Ausnahme des Nordpols 0: Dieser kommt für den unendlich fernen Punkt hinzu.

Der Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R P^2 \end{eqnarray*}$ geht aus $\begin{eqnarray*} S^2 = \{x \in R^3 | |x|=1 \} \end{eqnarray*}$ durch Identifikation antipodischer Punkte hervor. Weil die Punkte auf der nördlichen Hemisphäre {x | x_3 > 0} ohnehin einen antipodischen Partner der südlichen Hemisphäre haben, kann man sie gleich weglassen und muss nur auf der verbleibenden südlichen Hemisphäre $\begin{eqnarray*} \{ x \in S^2 | x_3 \leq 0 \} \end{eqnarray*}$ die antipodischen Punkte des Äquators {(x_1, x_2, 0) | |x|=1} verkleben.

Durch die Verklebung entsteht ein Möbiusband, an dessen Rand, einem Kreis, die Kreisscheibe mit ihrem Randkreis angeheftet ist.

Damit hätte ich meiner Meinung nach gezeigt, dass G homöomorph zum Möbiusband ist.

Wie siehst du das?
Muss man evtl. noch mehr Formalitäten einbauen?

04.11.2010, 23:47

gonnabphd

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Zitat:

1.) Ist das also wirklich eine solche gesuchte ("natürliche") Topologie:
$\begin{eqnarray*} [k] = k + 5 \mathbb Z \end{eqnarray*}$
?

Verstehe nicht, was der Zusammenhang ist? Das in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 5\mathbb Z \end{eqnarray*}$ sind ebenfalls Äquivalenzklassen, ja.

Zitat:

Jede Gerade in IR^2 trifft einen Kreis in genau einem Punkt.

Nein, das tun Geraden i.allg. nicht.

Zitat:

Der Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R P^2 \end{eqnarray*}$ geht aus $\begin{eqnarray*} S^2 = \{x \in R^3 | |x|=1 \} \end{eqnarray*}$ durch Identifikation antipodischer Punkte hervor. Weil die Punkte auf der nördlichen Hemisphäre {x | x_3 > 0} ohnehin einen antipodischen Partner der südlichen Hemisphäre haben, kann man sie gleich weglassen und muss nur auf der verbleibenden südlichen Hemisphäre $\begin{eqnarray*} \{ x \in S^2 | x_3 \leq 0 \} \end{eqnarray*}$ die antipodischen Punkte des Äquators {(x_1, x_2, 0) | |x|=1} verkleben.

Öhm, ich verstehe nicht. Von $\begin{eqnarray*} \mathbb{ R P}^2 \end{eqnarray*}$ sollten wir uns lieber verabschieden, das war oben ein Missverständnis, das hilft uns hier nicht weiter.

Versuch mal meinen Vorschlag:
Finde eine Bijektion von G auf das Möbiusband. Anschliessned definieren wir eine Topologie auf G, so dass G homöomorph zum Möbiusband ist und diskutieren darüber, ob die Topologie natürlich ist.

Wink

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