Kompaktheit zeigen für f: R^3 -> R

01.11.2010, 00:09

Physikmensch

Kompaktheit zeigen für f: R^3 -> R

Ich habe hier den Schnitt $\begin{eqnarray*} K = Z \cap E \subset \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ eines Zylinders $\begin{eqnarray*} Z = \{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 | x^2 + y^2 = 1 \} \end{eqnarray*}$ mit der Ebene $\begin{eqnarray*} E = \{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 | x + z = 0 \} \end{eqnarray*}$ gegeben. Ich soll zunächst kurz begründen, warum $\begin{eqnarray*} f: K \longrightarrow \mathbb{R}, f(x,y,z) = 3y + 4z \end{eqnarray*}$ ihr globales Maximum bzw. Minimum auf $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ annimmt und mit den Lagrange-Multiplikatoren die Extrema bestimmen.

Meine Idee zur Begründung, wieso f erstmal auf K ihre Extrema annimt wäre, dass K kompakt ist und f stetig. Da ich nun in der über 3 Monate andauernden vorlesungsfreien Zeit alles aus dem vorhergehenden Semester vergessen habe, brauche ich etwas Unterstützung.

1. Ich finde in meinen Unterlagen nirgends, wie wir die Kompaktheit (abgeschlossen + beschränkt) für Abbildungen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert haben. Bei Funktionen aus R nach R ist das ja einigermaßen einfach, beschränkt bedeutet, dass eine untere und obere Schranke existiert. $\begin{eqnarray*} \{1,2,3,4,5\} \end{eqnarray*}$ ist beschränkt mit 1 als untere und 5 als obere Schranke. Aber wie macht man das für Vektoren? Ich kann ja schlecht $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} < \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schreiben, also da gibt's doch keine Ordnungsrelation?

2. Stimmt mein Ansatz denn überhaupt?

01.11.2010, 09:11

Mazze

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Zitat:

1. Ich finde in meinen Unterlagen nirgends, wie wir die Kompaktheit (abgeschlossen + beschränkt) für Abbildungen aus definiert haben.

Eine stetige Funktion nimmt auf einer kompakten Menge ihe Extrema an. Nicht die Funktion ist kompakt, sondern die Menge K ist kompakt. Du musst also begründen warum K Kompakt ist.

01.11.2010, 10:24

Ehos

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@Physikmensch
Es handelt sich um eine Standardaufgabe. Warum machst du daraus so ein Problem? Die Attribute "kompakt", "abgeschlossen", "beschränkt" musst du hier gar nicht erörtern.

Gegeben ist eine "schiefe" Ebene, welche die Mantelfläche eines Zylinders schneidet. Die "Schnittmenge" ist also eine ellipsenförmige Kurve, worauf eine skalare Funktion f(y,z)=3y+4z gegeben ist. Letztere kann man z.B. als Temperaturverteilung auf einem Draht interpretieren, der ellipsenförmig gebogen ist. Du sollst also die Temperatur-Extrema auf diesem Draht berechnen.

Ersetze in der "Temeratur"-Funktion f(y,z)=3y+4z die Variable z mit der 1.Nebenbedingung x+z=0. Damit erhält man die neue Funktion auf f(x,y)=3y-4x. Ersetze darin die Variable y mit der 2.Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$ . Dann erhält man eine Funktion, die nur noch von x abhängt (wie in der Schule)

$\begin{eqnarray*} f(x)=\pm 3\sqrt{1-x^2}-4x \end{eqnarray*}$

Man muss aber wegen der Vorzeichen +/- zwei Fallunterscheidungen machen. Viel Erfolg!

Man kann natürlich auch die "Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren" anwenden. Aber das ist mehr Aufwand.

01.11.2010, 11:51

Physikmensch

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Zitat:

Original von Mazze

Zitat:

1. Ich finde in meinen Unterlagen nirgends, wie wir die Kompaktheit (abgeschlossen + beschränkt) für Abbildungen aus definiert haben.

Eine stetige Funktion nimmt auf einer kompakten Menge ihe Extrema an. Nicht die Funktion ist kompakt, sondern die Menge K ist kompakt. Du musst also begründen warum K Kompakt ist.

Ok, das ist mir auch klar, dass K kompakt sein muss und nicht die Funktion, aber $\begin{eqnarray*} K \subset \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ . K ist eine dreidimensionale (Teil)Menge des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ . Wie begründe ich denn also für ein 3-Tupel z. B. die Beschränktheit? Es gibt doch gar keinen "kleinsten" und "größten" Vektor.

Ehos: Danke auch für deine Antwort. Aber mein Problem ist eigentlich gar nicht die Berechnung der Extrema ansich, sondern die Begründung, WARUM die Funktion die Extrema auf K annimmt. Das soll halt "kurz" begründet werden.

01.11.2010, 12:50

Mazze

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D.h dein Problem ist, wie man Beschränktheit definiert? Beschränktheit kann man bezüglich einer Norm definieren. Im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^1 \end{eqnarray*}$ ist es einfach der Betrag |x|, im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ nimmt man eine beliebige Norm (das Funktioniert, weil im endlichdimensionalen jede Norm äquivalent ist). Etwa ist die Menge

$\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$

bezüglich der euklidischen Norm durch 1 bechränkt, das heisst , für alle

$\begin{eqnarray*} z \in Z \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \|z\|_2 = \sqrt{z_1^2 + z_2^2} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Insbesondere gilt das dann auch für jede Schnittmenge von Z mit irgendeiner anderen.

01.11.2010, 14:25

Physikmensch

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Zitat:

Original von Physikmensch

Aber mein Problem ist eigentlich gar nicht die Berechnung der Extrema ansich

Ok, hier habe ich mich wohl zu früh gefreut. Lagrange-Multiplikatoren müssen wohl benutzt werden. Da brauche ich doch noch etwas Unterstützung:

Also, soweit bin ich gekommen:

Hauptbedingung: $\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = 3y + 4z \end{eqnarray*}$
Nebenbedingung 1: $\begin{eqnarray*} g(x,y,z) = x + z = 0 \end{eqnarray*}$
Nebenbedingung 2: $\begin{eqnarray*} h(x,y,z) = x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \nabla{g} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \neq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \nabla{h} = \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 0 \end{pmatrix} \neq 0 \end{eqnarray*}$

Kritische Punkte von g und h sind damit als Extremstellen ausgeschlossen für f.

Jetzt muss also gelten:

$\begin{eqnarray*} \nabla{f} = \lambda_1 \cdot \nabla{g} + \lambda_2 \cdot \nabla{h} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ 0 \\ \lambda_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2x \cdot \lambda_2 \\ 2y \cdot \lambda_2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit erhalte ich: $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = -2 \cdot \frac{1}{\lambda_2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\lambda_2} \end{eqnarray*}$

In die 2. Nebenbedingung eingesetzt erhalte ich: $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = \pm \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

In die 1. NB eingesetzt erhalte ich mit $\begin{eqnarray*} z = -x \end{eqnarray*}$ für z: $\begin{eqnarray*} z = 2 \cdot \frac{1}{\lambda_2} \end{eqnarray*}$ .

Was heißt das jetzt? Dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \pm \frac{4}{5} \\ \pm \frac{3}{5} \\ \pm \frac{4}{5} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ der einzige Kandidat für ein Extremum ist? Ist das so richtig? Und wenn ja, wie geht's weiter?

01.11.2010, 15:22

Mazze

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Mir ist nicht ganz klar was Du da rechnest. Der Allgemeine Weg wäre, die Lagrangefunktion aufzustellen :

$\begin{eqnarray*} L(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2) = f(x,y,z) + \lambda_1(x + z) + \lambda_2(x^2 + y^2 - 1) \end{eqnarray*}$

Dann nach x,y,z ableiten, Nullsetzen und die Lambdas bestimmen. Dann hast Du die Kandidaten für die Extrema unter den Nebenbedingung und diese müssen dann noch gegen f geprüft werden.

01.11.2010, 15:34

Physikmensch

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Muss vor den Lambdas nicht ein negatives Vorzeichen stehen?

01.11.2010, 15:40

Mazze

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Guckst Du hier.

01.11.2010, 15:49

Physikmensch

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Dann hätte ich jetzt folgendes Gleichungssystem:

I $\begin{eqnarray*} \lambda_1 + 2 \lambda_2x = 0 \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} 3 + 2 \lambda_2y = 0 \end{eqnarray*}$
III $\begin{eqnarray*} 4 + \lambda_1 = 0 \end{eqnarray*}$

Erstmal bis hierhin richtig? Ich strapazier deine Nerven mal, indem ich's Schritt für Schritt mache. : (

01.11.2010, 16:00

Mazze

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Jopp, richtig. Aus der dritten Gleichung kannst Du direkt Lambda_1 bestimmen. Fehlt nur noch Lambda_2.

01.11.2010, 16:14

Physikmensch

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Na ja, $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ wäre doch frei wählbar und $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = -4 \end{eqnarray*}$ ? Bzw. $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = \frac{-3}{2y} \end{eqnarray*}$ . verwirrt

01.11.2010, 16:23

Mazze

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Oder anders :

$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{4}x = y \end{eqnarray*}$

Damit erhälst Du :

$\begin{eqnarray*} -4 + 2\lambda_2x = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3 + \frac{3}{2}\lambda_2x = 0 \end{eqnarray*}$

01.11.2010, 16:44

Physikmensch

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Ich bin wohl zu blöd für ein einfaches Gleichungssystem mit 2 Variablen und 2 Gleichungen. Wenn ich gleichsetze, kriege ich $\begin{eqnarray*} \lambda_2 = \frac{14}{x} \end{eqnarray*}$ . verwirrt

01.11.2010, 18:07

Physikmensch

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Ich sollte aufhören, vorm Monitor zu arbeiten. Da übersieht man die Nebenbedingungen ja völlig. Ich hab's jetzt, denke ich. Komme allerdings auf das exakt gleiche Ergebnis für die Multiplikatoren, auf das ich schon vorhin mit meinem eigenen Ansatz kam (außer einem verkehrten Vorzeichen für $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = -4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda_2 = \pm \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

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