Additives Inverses einer Äquivalenzklasse

01.11.2010, 07:26	mika_r1	Auf diesen Beitrag antworten »
Additives Inverses einer Äquivalenzklasse Meine Frage: Hallo zusammen, wir haben in unserer Mathe-Vorlesung unser 2tes Übungsblatt bekommen. Leider ist mir eine Aufgabe völlig unklar: "Bestimme das additive bzw. multiplikative Inverse von [3] für $\begin{eqnarray} \mathbb Z / 5 \mathbb Z , \mathbb Z / 7 \mathbb Z , \mathbb Z / 11 \mathbb Z \end{eqnarray}$ ." Meine Ideen: So wie ich es verstanden habe, ist das additive Inverse, das $\begin{eqnarray} y \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ , dass bei der Addition mit $\begin{eqnarray} x \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ das neutrale Element ergibt. Also 0 da $\begin{eqnarray} x+0 = x \end{eqnarray}$ . Für die multiplikation ist das neutrale Element 1 da $\begin{eqnarray} x 1 = x \end{eqnarray}$ . Ich habe nun folgendes notiert: $\begin{eqnarray} \mathbb Z / 5 \mathbb Z := \left\{ \left[ 0 \right], \left[ 1 \right], \left[ 2 \right], \left[ 3 \right], \left[ 4 \right] \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left[ 3 \right] := \left\{ ... , -8, -3, 3, 8, ... \right\} \end{eqnarray}$ Additives Inverses: $\begin{eqnarray} x + y = y + x = e = 0 \Rightarrow x + \left( -x \right) = e \end{eqnarray}$ d.h $\begin{eqnarray} -x \end{eqnarray}$ ist das additive Inverse Multiplikatives Inverses: $\begin{eqnarray} e = 1 \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} x * 1 = x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x * y = y * x = e = 1 \Rightarrow x * \left( \frac{1}{x} \right) = e \Rightarrow \frac{1}{x} \overline{\in} \mathbb Z \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} x \neq 1 \end{eqnarray}$ In Worten: Da x ungleich 1, ist 1/x keine ganze Zahl. D.h. Es gibt kein multiplikatives Inverses für [3] Nun, wenn ich das so hinschreibe gilt das ja ebenfalls für die Quotienten: $\begin{eqnarray} \mathbb Z / 7 \mathbb Z, \mathbb Z / 11 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ Deshalb nehme ich an, dass ich da etwas falsch verstanden habe. Irgendjemand vielleicht einen Tipp? Vielen Dank schon mal im Voraus
01.11.2010, 10:40	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst diejenige Restklasse $\begin{eqnarray} [x]\in\mathbb Z/5\mathbb Z \end{eqnarray}$ finden derart, dass $\begin{eqnarray} [3]+[x]=[0] \end{eqnarray}$ . Jetzt solltest du dich nochmal daran erinnern was diese Klammern zu bedeuten haben.
01.11.2010, 18:14	mika_r1	Auf diesen Beitrag antworten »
OK... also die eckigen Klammern fassen alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ zusammen, dei beim Teilen durch 5 den Rest n ergeben. In diesem Fall also [0],[1],[2],[3],[4]. Das heißt dann, dass [0] hier das neutrale Element darstellt. Somit folgt: $\begin{eqnarray} \left[ 3 \right] + \left[ 2 \right] = \left[ 5 \right] = \left[ 0 \right] \end{eqnarray}$ Für das multiplikative Inverse ist dann [1] das neutrale Element und es gilt: $\begin{eqnarray} \left[ 3 \right] \left[ 2 \right] = \left[ 6 \right] = \left[ 1 \right] \end{eqnarray*}$ Ist das so ungefähr richtig? Ich betrachte also nicht konkret den Inhalt der Restklasse sondern nur den Rest, den sie beim Teilen durch 5 ergeben?
01.11.2010, 18:23	mika_r1	Auf diesen Beitrag antworten »
... so langsam dämmerts: anders ausgedrückt: wenn ich ein beliebigs x aus [2] zu einem beliebigen y aus [3] addiere erhalte ich ein z aus [0] bzw wenn ich ein beliebiges x aus [2] mit einem beliebigen y aus [3] multipliziere erhalte ich ein z aus [1] usw
01.11.2010, 18:24	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist richtig. Doch, den Inhalt der Klammer musst du betrachten. Der Witz ist einfach, dass diese Klammern ein Homomorphismus sind, das heisst $\begin{eqnarray} [3]+[x]=[3+x] \end{eqnarray}$ und wenn das gerade $\begin{eqnarray} [0] \end{eqnarray}$ sein soll, dann bedeutet das, dass du ein $\begin{eqnarray} x\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ finden musst derart, dass $\begin{eqnarray} 3+x \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray}$ teilbar ist [dh in $\begin{eqnarray} [0] \end{eqnarray}$ liegt]. Die allgemeine Theorie sagt dir dann, dass es erstens solch ein $\begin{eqnarray} [x] \end{eqnarray}$ gibt und zweitens jede Lösung von "Finde $\begin{eqnarray} x\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 3+x \end{eqnarray}$ ist durch 5 teilbar" in der gleichen Äquivalenzklasse liegt, dh $\begin{eqnarray} [x] \end{eqnarray}$ ist eindeutig.
01.11.2010, 18:57	mika_r1	Auf diesen Beitrag antworten »
Jau, Danke. Jetzt hab ichs. Super, dass man hier so schnell Hilfe bekommt
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »