Beweise lb5 nicht rational

01.11.2010, 08:00	heko3	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise lb5 nicht rational Hallo zusammen, meine Aufgabe: Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray} log_{2}5 \end{eqnarray}$ nicht rational ist. Wie macht man sowas? Einfach nur ausrechnen?
01.11.2010, 08:09	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise lb5 nicht rational man kann solche beweise mit wiederspruch führen, man nimmt an, $\begin{eqnarray} \log_2(5) \end{eqnarray}$ sei rational, man kann die zahl also durch einen vollständig gekürzten bruch darstellen. $\begin{eqnarray} \log_2(5)=\frac{a}{b} \end{eqnarray}$ . nun kann man entlogarithmieren nun kannst du das ganze umstellen wie willst du das denn "einfach nur ausrechnen"? in den TR eingeben ist kein beweis, und irrationale zahlen haben unendlich viele hinterkommastellen die nicht periodisch sind, wenn du also endlich viele ausrechnest weißt du nicht, ob es nach der nächsten stelle abbricht oder weitere 10.000 stellen später eine periode zu erkennen ist....
01.11.2010, 10:35	heko3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise lb5 nicht rational Wenn ich das entlogarithmier, dann erhalt ich $\begin{eqnarray} log_{2}5=\frac{a}{b}<br /> 5=2^\frac{a}{b} \end{eqnarray}$ Aber wonach soll ich da noch umstellen? $\begin{eqnarray} 2^\frac{a}{b}-5=0 \end{eqnarray}$ Das hilft mir doch nichts.
01.11.2010, 10:48	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine andere Umformung springt doch ebenfalls dir ins Gesicht. Stichwort Potenzgesetze
01.11.2010, 11:01	heko3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise lb5 nicht rational Klar. Hab da noch nicht so den Blick dafür. Also: $\begin{eqnarray} 5=\sqrt[b]{2^{a}}<br /> 5^{b}=2^{a}<br /> b log_{2}5=a \end{eqnarray}$ Dann wär ich wieder am Anfang: $\begin{eqnarray} log_{2}5=\frac{a}{b} \end{eqnarray}$
01.11.2010, 11:05	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Denk doch mal etwas mehr nach. Du warst schon am Ziel hast es aber nicht erkannt
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01.11.2010, 11:20	heko3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise lb5 nicht rational $\begin{eqnarray} 5=\sqrt[b]{2^{a}} \end{eqnarray}$ 5 wird nicht mit einem Bruch $\begin{eqnarray} \frac{a}{b} \end{eqnarray}$ dargestellt, also kann es keine rationale Lösung geben, oder?
01.11.2010, 11:34	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, die Gleichung $\begin{eqnarray} 5^b = 2^a \end{eqnarray}$ ist die interessante...
01.11.2010, 12:23	heko3	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung $\begin{eqnarray} 5^{b}=2^{a} \end{eqnarray}$ kann nur in einem Fall richtig sein, wenn $\begin{eqnarray} a=b=0 \end{eqnarray}$ ist. $\begin{eqnarray} 5^{0}=2^{0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1=1 \end{eqnarray}$ Das kann aber nicht sein, weil $\begin{eqnarray} a\in\mathbb Z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b\in\mathbb N \end{eqnarray}$ ist, was heißt, dass in $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ keine Null vorhanden ist und deshalb die Aussage $\begin{eqnarray} log_{2}5 \end{eqnarray}$ ist rational falsch ist.

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