Ableitung der Determinante ... Spur einer Matrix, DGL ?!

01.11.2010, 11:05	Tarnfara	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung der Determinante ... Spur einer Matrix, DGL ?! Servus, hier meine Aufgabe: 1. Sei $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \to \mathbb C^{n \times n} \end{eqnarray}$ eine differenzierbare Abbildung mit f(0) = 1. Berechnen Sie $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt} \det f \end{eqnarray}$ in t=0. 2. Sei nun $\begin{eqnarray} X \in \mathbb C^{n \times n} \end{eqnarray}$ eine Matrix, für die $\begin{eqnarray} \det e^{tX} = 1 \end{eqnarray}$ für alle t gilt. Welche Spur hat X? Ich tendiere ja dazu, zu umständlich zu denken. Bei Aufgabe 1 habe ich mir gedacht, dass $\begin{eqnarray} \mathbb C^{n \times n} \cong \mathbb C^{n^2} \end{eqnarray}$ und dann nach Kettenregel gelten müsste: $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt} \det f = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n \frac{\partial \det f}{\partial f_{ij}} \dot f_{ij} \end{eqnarray}$ Um die partiellen Ableitungen der Determinante auszurechnen, entwickle ich mit Laplace nach der i-ten Zeile und erhalte so: $\begin{eqnarray} \forall 1 \le i \le n : \frac{\partial \det f}{\partial f_{ij}} = (-1)^{i+j} \det \tilde F_{ij} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \tilde F_{ij} \end{eqnarray}$ die Matrix sein soll, die aus F entsteht, wenn man die i-te Zeile und j-te Spalte streicht. Da F(0) = Einheitsmatrix ist, verschwinden alle diese Determinanten, falls $\begin{eqnarray} i \ne j \end{eqnarray}$ an der Stelle t = 0, so dass ich die Ableitung: $\begin{eqnarray} \frac{d \det f}{dt} = \sum_{i=1}^n \dot f_{ii} \end{eqnarray}$ an der Stelle t = 0 erhalte. Soweit so gut. Nun sitze ich am zweiten Teil der Aufgabe und habe nichtmal ansatzweise eine Idee... Also klar ist für mich, dass $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \to \mathbb C^{n \times n}, f(t) = e^{tX} \end{eqnarray}$ die Voraussetzungen von 1 erfüllt und ich sehe auch, dass meine ausgerechnete Ableitung in t=0 ja schon "fast" die Spur ist, aber alle meine diesbezüglichen relativ kreativen Ansätze (vermutlich genauso falsch wie kreativ) führen ins Nichts, da ich höchstens mal eine Idee habe, wie ich f_ii ausrechnen kann, aber da ist ja noch die e-Funktion dazwischen. HILFE ! Beste Grüße, fara
02.11.2010, 10:27	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung der Determinante ... Spur einer Matrix, DGL ?! Bei deiner Aufgabe 2 wird die Abbildung $\begin{eqnarray} e^{X\cdot t} \end{eqnarray}$ betrachtet, deren Determinante den Wert 1 hat. Wenn diese Abbildung eine Drehung D ist, wo immer gilt det(D)=1, kann ich dir zeigen, dass die Matrix X antisymmetrisch sein muss, so dass folglich - wie bei allen antisymmetrischen Matrizen - die Spur verschwindet. (Das ist aber nur ein Spezialfall. Man muss also noch zeigen, was passiert, wenn D keine Drehung ist.) Betrachte eine Drehung mit einer t-abhängigen Drehmatrix D $\begin{eqnarray} \vec y=D \vec x \end{eqnarray}$ __________(1) Die 1.Ableitung (="Geschwindigkeit") lautet $\begin{eqnarray} \dot{\vec y}=\dot D \vec x \end{eqnarray}$ __________(2) Auf der rechten Seite von (2) substituieren wir mit der inversen Gleichung $\begin{eqnarray} x=D^{-1}y=D^Ty \end{eqnarray}$ und erhalten $\begin{eqnarray} \dot{\vec y}=\dot D D^T\vec y \end{eqnarray}$ __________(3) Die Matrix $\begin{eqnarray} \dot D D^T \end{eqnarray}$ ist antisymmetrisch, denn wenn man die Gleichung $\begin{eqnarray} DD^T=E \end{eqnarray}$ ableitet, wobei E die Einheitsmatrix ist, erhält man $\begin{eqnarray} \dot D D^T+D\dot D^T=0 \end{eqnarray}$ . Schreibt man den zweiten Summanden etwas anders, ergibt sich tatsächlich die Definition einer antisymmetrischen Matrix. $\begin{eqnarray} X+X^T=0\,\,\,\,\,\,\,\,mit\,\,\,X=\dot D D^T \end{eqnarray}$ __________(4) Durch Vergleich von (4) und (3) kommen wir zu dem wichtigen Schluss, dass bei zeitabhängigen Drehungen D(t) zu jedem Zeitpunkt eine antisymmetrische Matrix X existiert, so dass sich die momentane Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} \dot {\vec y} \end{eqnarray}$ eines gedrehten Vektors $\begin{eqnarray} \vec y \end{eqnarray}$ wie folgt schreiben lässt $\begin{eqnarray} \dot{\vec y}=X\vec y \end{eqnarray}$ __________(5) Aus der Mechanik ist gut bekannt, dass dies der Formel $\begin{eqnarray} \vec v=\vec \omega \times \vec x \end{eqnarray}$ entspricht ( $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ =Geschwindigkeit, $\begin{eqnarray} \vec \omega \end{eqnarray}$ =Winkelgeschwindigkeit, $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ =Ortsvektor), dennn bekanntlich ist das Kreuzprodukt als antisymmetrsiche Matrix X ausdrückbar. Gemäß (5) können wir also bei Drehungen formal den Operator d/dt mit einer antisymmetrischen Matrix X gleichsetzen, also $\begin{eqnarray} \frac{d}{dt}=X \end{eqnarray}$ ___________(6) Nun betrachten wir ganz allgemein die Taylorentwiclkung eines zeitabhängigen Vektors $\begin{eqnarray} \vec f(t_0+t) \end{eqnarray}$ . Diese kann man ganz formal als e-Funktion auffassen, also $\begin{eqnarray} \begin{matrix} \vec f(\vec t_0+t) & = & \vec f+ \frac{d\vec f}{d t}\cdot t + \frac{1}{2}\frac{d^2\vec f}{d t^2}\cdot t^2 + \frac{1}{3!}\frac{d^3\vec f}{d t^3}\cdot t^3+...\\&&\\ & = & (1+ \frac{d}{d t}\cdot t + \frac{1}{2}\frac{d^2}{d t^2}\cdot t^2 + \frac{1}{3!}\frac{d^3}{d t^3} \cdot t^3+...)\,\,\vec f\\&&\\&=& \exp\left( t \cdot \frac{d}{dt}\right ) \vec f \end{matrix} \end{eqnarray}$ _________________(7) Wenn diese Bewegung eine Drehung darstellt, dürfen wir die Zeitableitung d/dt gemäß (6) als antismmetrischen Operator auffassen, also $\begin{eqnarray} \vec f(t)=e^{X\cdot t} \end{eqnarray}$ ________(8) Bekanntlich verschwindet die Spur eines antisymmetrsichen Operators. w.z.b.w.
02.11.2010, 10:35	Booker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung der Determinante ... Spur einer Matrix, DGL ?! Bei der ersten Aufgabe müsste man sich erstmal darüber klar werden was die "1" von f(0)=1 bedeutet, dein Wertebereich ist ja $\begin{eqnarray} \mathbb{C}^{n \times n} \end{eqnarray}$ . Ist das eine Matrix, die komplett mit Einsen gefüllt ist oder ist nur die Hauptdiagonale =1 und der Rest 0?
02.11.2010, 10:38	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Booker Bei Aufgabe (1) ist 1 die Einheitsmatrix. Diese enthält in der Hauptdiagonalen die Werte 1 und ansonsten nur Nullen. Das ergibt sich aus dem Kontext. Der Beweis von Tarnfara ist völlig ok.
02.11.2010, 10:51	Booker	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben die Einheitsmatrix immer mit I oder E bezeichnet, dafür eine gewöhnliche "1" zu verwenden finde ich persönlich gewöhnungsbedürftig, da das leicht zu Verwechslungen führen kann. Das sich das aus dem Kontext ergibt mag sein, die Lösung samt Lösungsweg stimmt ja auch.
03.11.2010, 11:16	Tarnfara	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung der Determinante ... Spur einer Matrix, DGL ?! Danke Ehos, ich habe zuhause kein Internet und kann daher deinen ausführlichen Beitrag noch nicht direkt bearbeiten. Melde mich später wieder (ca. 2 Tage). Grüße
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