[Geo]Baryzentrische Koord. des Höhenschnittpunkt im Dreieck

01.11.2010, 11:39	Stefan03	Auf diesen Beitrag antworten »
[Geo]Baryzentrische Koord. des Höhenschnittpunkt im Dreieck Hallo, ich soll die baryzentrischen Koord. des Höhenschnittpunkt eines Dreiecks bestimmen. Wie gehe ich denn da am besten vor? Am besten wäre wohl, irgendwie die Koord. des Schnittpunkts als Linearkombinationen der Seiten a,b und c auszudrücken und dann wäre ja mein $\begin{eqnarray} \lambda, \mu, \nu \end{eqnarray}$ die baryzentrischen Koords. Hier sind sie aber mit $\begin{eqnarray} \tan{\alpha}... \end{eqnarray}$ angegeben. Dass die Höhe hc auf c senkrecht steht usw. ist mir bewusst Ein kleiner Hinweis wäre cool
02.11.2010, 19:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung hängt ganz von den Techniken ab, die dir zur Verfügung stehen. Elementar könnte man das folgendermaßen machen: Die baryzentrischen Koordinaten $\begin{eqnarray} \xi_a,\xi_b,\xi_c \end{eqnarray}$ eines Punktes $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ kann man durch $\begin{eqnarray} \xi_a = \frac{d_a}{h_a} \, , \ \ \xi_b = \frac{d_b}{h_b} \, , \ \ \xi_c = \frac{d_c}{h_c} \end{eqnarray}$ erklären. Hierbei sind $\begin{eqnarray} h_a,h_b,h_c>0 \end{eqnarray}$ die Höhen des Dreiecks und $\begin{eqnarray} d_a,d_b,d_c \end{eqnarray}$ die orientierten Abstände von $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ zu den Dreiecksgeraden $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ . So ist etwa $\begin{eqnarray} d_a>0 \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ auf derselben Seite von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ liegen, und $\begin{eqnarray} d_a<0 \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ auf verschiedenen Seiten von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ liegen. Entsprechend bei $\begin{eqnarray} d_b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d_c \end{eqnarray}$ . Jetzt zur Aufgabe. Lege das Dreieck in ein kartesisches Koordinatensystem, so daß die Ecken die folgenden Koordinaten bekommen: $\begin{eqnarray} A = (0,0) \, , \ \ B = (c,0) \, , \ \ C = (u,h_c) \ \ \text{mit} \ \ c,h_c > 0 \end{eqnarray}$ Hierbei gelten nach Pythagoras $\begin{eqnarray} \text{(I)} \ \ u^2 + h_c^2 = b^2 \, , \ \ \text{(II)} \ \ (c-u)^2 + h_c^2 = a^2 \end{eqnarray}$ Durch Subtraktion der beiden Gleichungen fällt $\begin{eqnarray} h_c \end{eqnarray}$ weg, und du kannst $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ ausdrücken. Mit $\begin{eqnarray} \text{(I)} \end{eqnarray}$ kannst du schließlich auch $\begin{eqnarray} h_c^2 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ ausdrücken. Den Höhenschnittpunkt $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ findest du als Schnittpunkt der Höhen auf $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ und auf $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Die erste hat die Gleichung $\begin{eqnarray} x = u \end{eqnarray}$ , die zweite die Gleichung $\begin{eqnarray} y = \frac{c-u}{h_c} \cdot x \end{eqnarray}$ (die Steigung ist der negative Kehrwert der Steigung $\begin{eqnarray} - \frac{h_c}{c - u} \end{eqnarray}$ der Geraden $\begin{eqnarray} BC \end{eqnarray}$ ). Somit hat $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ die Koordinaten $\begin{eqnarray} H = \left( u \, , \, \frac{(c-u) \cdot u}{h_c} \right) \end{eqnarray}$ Sind nun $\begin{eqnarray} \vartheta_a, \vartheta_b, \vartheta_c \end{eqnarray}$ die baryzentrischen Koordinaten von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ , so gilt nach der Erklärung vom Anfang also $\begin{eqnarray} \vartheta_c = \frac{(c-u) \cdot u}{h_c^2} \end{eqnarray}$ Wenn du, wie oben erklärt, alle Größen durch $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ ausdrückst, findest du $\begin{eqnarray} \vartheta_c = \frac{\left( -a^2 + b^2 + c^2 \right) \left( a^2 - b^2 + c^2 \right)}{16 f^2} \end{eqnarray}$ Und die beiden anderen baryzentrischen Koordinaten bekommst du durch zyklische Vertauschung $\begin{eqnarray} a \mapsto b \mapsto c \mapsto a \end{eqnarray}$ . Bei homogenen Koordinaten kannst du auf den gemeinsamen Nenner $\begin{eqnarray} 16f^2 \end{eqnarray}$ verzichten.
06.11.2010, 15:44	Stefan03	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, vielen Dank für deine ausführlichen Hinweise! Ich werde das mal durchdenken

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