Verknüpfungen bei Gruppen

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Dias Auf diesen Beitrag antworten »
Verknüpfungen bei Gruppen
Meine Frage:
Hallo,
ich Studiere im ersten Semester Mathematik auf Lehramt und habe eine Frage zu Verknüpfungen im Bezug auf Gruppen. Ich hänge bei einer Aufgabe weil ich einfach nicht genau verstehe was eine Verknüpfung eigentlich ist, ich hoffe das kann mir jemand erklähren bin echt am Verzweifeln...
In meiner Aufgabe ist die Menge G als die Menge der affinen (f(x)= ax+b), nicht konstanten Abbildungen von der Menge der reellen Zahlen nach der Menge der reellen Zahlen definiert. Jetzt soll ich zeigen, dass (G,°) eine Gruppe ist. Angemerkt ist dass man ° als die Verknüpfung von Abbildungen bezeichnet.

Meine Ideen:
Also ich weiß dass man Abbildungen Verketten (=Verknüpfen?) kann, und die Definition war mir eigentlich soweit klar.
Und soweit wie ich die Gruppen verstanden habe sind das Abbildungen, die irgendwie miteinander Verknüpft sind, aber hier ist jetzt was anderes gemeint oder?
Ich denke ich muss hier jetzt irgendwie ein neutrales Element, inverse Elemente und Assoziativität nachweisen.
Aber ich dachte bis dato dass dieses "Verknüpft" immer als + oder * definiert ist, zumindest war das in der Vorlesung so.

Lange Rede kurzer Sinn: Was bedeutet diese Verknüpfung allgemein wenn sie nicht vordefiniert ist, wie kann ich mir dass im bezug auf diese affinen Abbildungen vorstellen? (bitte keine Lösung der Aufgabe)
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist eigentlich jetzt deine Frage? Du weißt doch bereits dass ° die Komposition von Abbildung ist.
Ob man die Verknüpfung jetzt °,+,* oder benennt ist dabei völlig egal.
 
 
Dias Auf diesen Beitrag antworten »

Nun in der Vorlesung hatten wir Beispiele von Gruppen, zum Beispiel
(,+)

Hier ist doch die Verknüpfung +, also die addition von ganzen Zahlen ist hier eine Gruppe, oder verstehe ich was falsch?

Denn ich verstehe nicht wie diese Verknüpfung jetzt etwas mit Abbildungen zu tun hat, hier ist doch simples addieren von Elementen aus der Fall? Was fange ich jetzt mit (G,°) an?
Vielleicht harpert es auch einfach an meinem Verständnis von Gruppen, dass ich da was missverstanden habe.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Die Elemente der Gruppe sind jetzt aber keine Zahlen sondern eben Abbildungen. Und die Abbildungen werden verknüpft durch Hintereinanderausführung. Das muss nicht unbedingt so sein, man kann sie auch anders verknüpfen. Aber in der deiner Aufgabe ist es jetzt eben so.
Dias Auf diesen Beitrag antworten »
Dias
Achsoooo danke ich denke jetzt hatts endlich Klick gemacht :P

Klar jetzt werden hier halt Abbildungen von G verknüpft, anstatt dass Zahlen von addiert werden...

Also muss ich jetzt praktisch zeigen, dass für

neutrales Element e: f(e(x)) = f(x) = e(f(x))

inverses Element g: f(g(x)) = x = g(f(x))

Assoziativität: f1(f2(x)) = f2(f1(x))

gelten, sehe ich das richtig?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dias
Zitat:
Original von Dias

Assoziativität: f1(f2(x)) = f2(f1(x))

gelten, sehe ich das richtig?

Das wäre kommutativ
Lockenmatte Auf diesen Beitrag antworten »

hallo, darf ich mich hier einklinken?. Das möchte ich auch gerne wissen....allerdings brauche ich noch die Info, was hier mit Abbildungen und hintereinanderausführen gemeint ist?
Dias Auf diesen Beitrag antworten »

ahja genau, assoziativ wäre dann so f1(f2(f3(x))) = f3(f2(f1(x))) oder?

Stimmen die anderen Ansätze? Habe jetzt mal eingesetzt und umgeformt und bin zu Erkenntnissen gekommen, reicht das dann als Beweis? (bin mir da nie so ganz sicher, dieses Beweisen ist doch recht ungewohnt...)


Zu lockenmatte:
Willst du wissen was eine Abbildung ist, oder wie sie hier in der Aufgabe definiert sind?
galois Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dias
ahja genau, assoziativ wäre dann so f1(f2(f3(x))) = f3(f2(f1(x))) oder?


Wenn ich mich auch kurz einschalten dürfte. Das wäre doch auch eher abelsch, oder?

Assoziativ ist es doch so, wenn mich nicht alles täuscht:


galois
Dias Auf diesen Beitrag antworten »

Mh ja kann sein dass ich kommutativ und assoziativ ein wenig durcheinander gebracht hab. Allerdings verwirrt mich deine Form jetzt auch, wieso multiplizierst du denn die Abbildungen? Das leuchtet mir nich ganz ein.

Ich meinte die Definition von assoziativ sei


wobei m die Art der Verknüpfung ist, also für

und für
galois Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dias
Mh ja kann sein dass ich kommutativ und assoziativ ein wenig durcheinander gebracht hab. Allerdings verwirrt mich deine Form jetzt auch, wieso multiplizierst du denn die Abbildungen? Das leuchtet mir nich ganz ein.


Wie du deine Verknüpfung am Ende nennst, ist doch egal. Wenn´s für dich klarer wird, dann verwende ich den Kringel aus deinem Eingangsbeitrag. smile

Dias Auf diesen Beitrag antworten »

Sry aber ich hab grad wieder ein Brett vorm Kopf, wenn die Definition stimmt was habe ich dann beim Ansatz für Assoziativität falsch gemacht?

ist nicht das gleiche wie

und nicht das gleiche wie ?
galois Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dias
Sry aber ich hab grad wieder ein Brett vorm Kopf, wenn die Definition stimmt was habe ich dann beim Ansatz für Assoziativität falsch gemacht?

ist nicht das gleiche wie

und nicht das gleiche wie ?


Doch, das ist sehr wohl das Gleiche.
Du kannst deine Verknüpfung nennen, wie du magst. Sei es °, +,*. Wichtig ist, dass du begreifst, dass es sich hierbei um eine Komposition von Abbildungen handelt.

Lockenmatte Auf diesen Beitrag antworten »

ich meine die Abbildung, wie sie hier für diese Aufgabe gemeint ist...
ich versuche zu folgen
galois Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lockenmatte
ich meine die Abbildung, wie sie hier für diese Aufgabe gemeint ist...
ich versuche zu folgen


Prüfe doch die Gruppenaxiome durch:

Neutrales Element e: (f°e)(x) = f(x) = (e°f)(x)
Inverses Element g: (f°g)(x) = x = (g°f)(x)
Assoziativität: ((f1°f2)°f3)(x) = (f1°f2)°(f3(x))

smile
Lockenmatte Auf diesen Beitrag antworten »

danke, das hilft erstmal....
Dias Auf diesen Beitrag antworten »

Naja das hatte ich eigentlich schon verstanden, wobei das ja auch wieder abhängig davon ist wie die Menge der Gruppe definiert ist, oder sehe ich das falsch?

In dem simplen Beispiel aus meiner Vorlesung das ich oben gepostet habe ist + ja keine Komposition von Abbildungen, sondern die Addition von ganzen Zahlen.

Zitat:
Wenn ich mich auch kurz einschalten dürfte. Das wäre doch auch eher abelsch, oder?

Assoziativ ist es doch so, wenn mich nicht alles täuscht:


du meintest doch vorhin mein Ansatz zur Assoziativität wäre eher abelsch, und jetzt sagst du das es doch das gleiche war... entweder reden wir gerade an uns vorbei, oder ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht, auf jeden Fall bin ich verwirrt. Wie müsste den mein Ansatz aussehen?

Lockenmatte:


ist die Menge der affinen, nicht konstanten Abbildungen von nach . Zeigen Sie, dass (G,°) eine Gruppe ist.

Das ist die Aufgabe.
galois Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dias
Naja das hatte ich eigentlich schon verstanden, wobei das ja auch wieder abhängig davon ist wie die Menge der Gruppe definiert ist, oder sehe ich das falsch?

In dem simplen Beispiel aus meiner Vorlesung das ich oben gepostet habe ist + ja keine Komposition von Abbildungen, sondern die Addition von ganzen Zahlen.


Deine Gruppe beinhaltet die ganzen Abbildungen f. Anstatt von Zahlen hast du hier Abbildungen, die durch ° miteinander verknüpft werden (Komposition).


Zitat:
Wenn ich mich auch kurz einschalten dürfte. Das wäre doch auch eher abelsch, oder?

Assoziativ ist es doch so, wenn mich nicht alles täuscht:


Hier habe ich mich vertan, tut mir leid. Der letzte Ausdruck hätte so aussehen sollen: (f1*(f2*f3(x)))

Wobei du anstatt * auch ° hinschreiben kannst. An dem soll es nicht scheitern. Augenzwinkern

Zitat:
Original von Diasdu meintest doch vorhin mein Ansatz zur Assoziativität wäre eher abelsch, und jetzt sagst du das es doch das gleiche war... entweder reden wir gerade an uns vorbei, oder ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht, auf jeden Fall bin ich verwirrt. Wie müsste den mein Ansatz aussehen?


Ja, weil dein Ansatz falsch war. Du hast etwas abelsches hingeschrieben. f1°f2 = f2°f1 ist nicht assoziativ, sondern abelsch.
Das ist was komplett anderes!!!!!!!!
Dias Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab verstanden dass in meiner Aufgabe mit ° die Komposition von Abbildungen gemeint ist, und dass man es auch * oder + schreiben könnte und dann immer noch das gleiche gemeint ist.

Aber wie ist es wenn ich nicht weiß aus waas für Elementen die Menge der Gruppe besteht, also ob es Zahlen oder Abbildungen sind?

Ein Beispiel:

Sei (G,*) eine Gruppe. Sei so dass .
Zeigen sie, dass a^(-1) = a.

Heißt * jetzt Mal? Oder ist das wieder eine Komposition?

Anmerkung: ^ steht für "hoch"
galois Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dias
Also ich hab verstanden dass in meiner Aufgabe mit ° die Komposition von Abbildungen gemeint ist, und dass man es auch * oder + schreiben könnte und dann immer noch das gleiche gemeint ist.

Aber wie ist es wenn ich nicht weiß aus waas für Elementen die Menge der Gruppe besteht, also ob es Zahlen oder Abbildungen sind?

Ein Beispiel:

Sei (G,*) eine Gruppe. Sei so dass .
Zeigen sie, dass a^(-1) = a.

Heißt * jetzt Mal? Oder ist das wieder eine Komposition?

Anmerkung: ^ steht für "hoch"


Eine Multiplikation ist für sich auch eine Komposition, weil du hierbei zwei Zahlen miteinander verknüpfst, genauso wie bei einer Addition.

Wenn du eine Gruppe (G, *) hast mit a² = e, dann weißt du folgendes:
a² = a*a = e. Daraus folgt aus den Gruppenaxiomen, dass es ein Element b in der Gruppe gibt, mit a * b = e ist. Da a² = e ist, folgt, dass b = a und somit a = a^-1 ist.

galois
Dias Auf diesen Beitrag antworten »

aha, also bedeutet ² dass zwei gleiche Elemente der Menge miteinander verknüpft sind? also auch wenn die Komposition eine Addition von Zahlen wäre?

oder ist das jetzt nur in dem Beispiel so?

Ich muss halt noch immer automatisch an Quadrat denken wenn ich ² sehe, genauso wie ich bei a^-1 zuerst an einen Bruch der 1 durch a teilt denken muss, aber diese Schreibweisen haben hier wohl andere Bedeutungen.
galois Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dias
aha, also bedeutet ² dass zwei gleiche Elemente der Menge miteinander verknüpft sind?


Richtig. Ein Element aus einer Menge wird mit sich selbst nochmal verknüpft.

Zitat:
Original von Diasalso auch wenn die Komposition eine Addition von Zahlen wäre?


Genauso ist es.

Zitat:
Original von DiasIch muss halt noch immer automatisch an Quadrat denken wenn ich ² sehe, genauso wie ich bei a^-1 zuerst an einen Bruch der 1 durch a teilt denken muss, aber diese Schreibweisen haben hier wohl andere Bedeutungen.


Das ist das Problem am Anfang. Bin auch erst im 1. Semester (Mathematik Bachelor).
Wichtig ist, daß du dich schnell davon löst ² als Quadrat anzusehen oder a^-1 als Kehrbruch o.ä. zu sehen.
a^-1 bezeichnet das Inverse zu a.
Dias Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen dank dass du dir Zeit genommen hast für meine Fragen, hast mir echt sehr weiter geholfen smile
galois Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dias
Ok vielen dank dass du dir Zeit genommen hast für meine Fragen, hast mir echt sehr weiter geholfen smile


Gerne.
Wenn du weitere Fragen hast, nur zu. smile

galois
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