Funktion messbar bzgl. Maß, Integralabschätzung

01.11.2010, 12:33

zac

Funktion messbar bzgl. Maß, Integralabschätzung

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Sei $\begin{eqnarray*} f: X\rightarrow \left[0,\infty \right] \end{eqnarray*}$ messbar bezüglich eines Maßes $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} t>0 \end{eqnarray*}$ zeige:

$\begin{eqnarray*} \mu\left(\left\{f\geq t\right\}\right)\leq t^{-1}\int_X fd\mu \end{eqnarray*}$

Das einzige, was ich weiß, ist, dass $\begin{eqnarray*} f\left(x\right)\geq t \end{eqnarray*}$ bedeutet, diejenigen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ für die eben $\begin{eqnarray*} f\left(x\right)\geq t \end{eqnarray*}$ gilt.

Kann mir irgendjemand weiterhelfen?

01.11.2010, 13:42

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Wenn du's umschreibst, bekommst du die äquivalente Aussage

$\begin{eqnarray*} t \cdot \int_{\mu\left(\left\{f\geq t\right\}\right)} 1 \, \dd\mu = t \cdot \mu\left(\left\{f\geq t\right\}\right)\leq \int_X f \, \dd\mu \end{eqnarray*}$

Gruss Wink

01.11.2010, 14:31

zac

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, soweit bin ich auch gekommen, dann wird mir das ganze anschaulich klar....aber eben nur anschaulich.

ich hab jetzt so viel:

$\begin{eqnarray*} t\mu\left(\left\{ f\geq t\right\}\right)=t\cdot\mu\left(\bigcup\limits_{i=1}^n\left[a_i,b_i\right] \right)=\sum^n\limits_{i=1} t\cdot\mu\left(\left[a_i,b_i\right] \right)\leq \sum\limits_{i=1}^n\int\limits_{a_i}^{b_i}fd\mu\leq\int\limits_{a_1}^{b_n} fd\mu= \int_X f d\mu \end{eqnarray*}$

aber das ganze erscheint mir nicht korrekt

01.11.2010, 17:41

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte man die Menge denn als abzählbare Vereinigung von Intervallen schreiben können?

Verwende doch einfach, dass für nichtnegative, messbare f, g gilt:

$\begin{eqnarray*} f \le g \Rightarrow \int_X f \, \dd\mu \le \int_X g \, \dd\mu \end{eqnarray*}$

01.11.2010, 18:06

zac

Auf diesen Beitrag antworten »

also:

$\begin{eqnarray*} t\cdot \mu\left(\left\{ f\geq t\right\} \right)=\int_{\left\{ f\geq t\right\}}td\mu=\int \mathfrak 1 _{\left\{f\geq t\right\}}td\mu \leq \int \mathfrak 1 fd\mu=\int_X f d\mu \end{eqnarray*}$

???

01.11.2010, 18:09

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Macht doch Sinn. Oder wo bist du dir unsicher? (das erste)

Das zweite macht so keinen Sinn, da im Integral keine Funktion steht.

01.11.2010, 18:11

zac

Auf diesen Beitrag antworten »

reicht auch das?

$\begin{eqnarray*} t\cdot\mu\left(\left\{f\geq t\right\}\right)=\int_{\left\{f\geq t\right\}} td\mu\leq\int_{\left\{f\geq t\right\}}fd\mu\leq\int_X fd\mu \end{eqnarray*}$

so besser?

01.11.2010, 18:12

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int_{\{f\ge t\}} \end{eqnarray*}$ ist kein definierter Ausdruck....

01.11.2010, 18:18

zac

Auf diesen Beitrag antworten »

hab es verbessert

01.11.2010, 18:26

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Das stimmt auch. Und die Idee kommt so wohl noch ein bisschen deutlicher rüber für Leser.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} t\cdot\mu\left(\left\{f\geq t\right\}\right)=\int_{\left\{f\geq t\right\}} td\mu\leq\int_{\left\{f\geq t\right\}}fd\mu\leq\int_X fd\mu \end{eqnarray*}$

01.11.2010, 18:35

zac

Auf diesen Beitrag antworten »

heißt es jetzt

$\begin{eqnarray*} \int_{\left\{f\geq t\right\}} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \int_{\mu\left(\left\{f\geq t\right\}\right)} \end{eqnarray*}$

01.11.2010, 19:01

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int_{\left\{f\geq t\right\}} \end{eqnarray*}$

Hatte mich ganz oben vertippt.

Neue Frage »

Antworten »

Funktion messbar bzgl. Maß, Integralabschätzung

Verwandte Themen