Beweis für eine Gruppe |
| 01.11.2010, 13:35 | fikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Beweis für eine Gruppe Sei M eine Menge und S(M) die Menge aller bijektiven Abbildungen von M in sich. (a) zeigen sie, dass S(M) zusammen mit der Komposition von Abbildungen als Verknüpfung eine Gruppe ist. (B) zeigen sie, dass S(M) nicht abelsch ist, wenn M mehr als zwei Elemente enthält. bin im ersten semester und hab keine aahnung^^ Meine Ideen: ich weiß echt nichts^^ |
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| 01.11.2010, 13:41 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das glaube ich nicht. Als erstes Schreibst Du hin, welche Eigenschaften eine Gruppe erfüllen muss. |
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| 01.11.2010, 13:50 | fikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also eine gruppe muss folgende eigenschaften haben 1) * ist assoziativ 2) es muss ein neutrales element aus G geben mit a*e=a=e für alle a aus G 3) zu a aus G existiert b aus G mit a*b=e=b*a das hatten wir mal aufgeschrieben und bijektive abbildunge müssen ja generell surjektiv und injektiv sein. m,n mengen f:M nach N abb. surjektiv genau dann wenn eine abb g:N nach M existiert dass f°g=id auf N ist injektiv wenn eine abb h:N nach M existier sodass h°f =id auf M ist bijektiv , wenn eine abb g:M nach N existiert mit f°g=id auf n und g°f =id auf M das weiß ich alles aber ich weiß nicht wie ich es geschickt benutzen sollte |
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| 01.11.2010, 13:52 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Assoziativität : Wenn Ihr das nicht schon längst in der Vorlesung gezeigt habt, musst Du also zeigen dass gilt. |
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| 01.11.2010, 14:07 | fikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ne wir hatten das nicht genau in der vorlesung nur das es gilt^^ sollten wenn nötig selber beweisen also ich denke (f°g)°h= ((f°g)°h)(x)=(f°g)(h(x))=f(g(h(x))) und f°(g°h)=(f°(g°h)(x))=f(g°h(x))=f(g(h(x))) somit gilt (f°g)°h= f°(g°h) |
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| 01.11.2010, 14:15 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mal abgesehen davon, dass dein Aufschrieb keinen Sinn ergibt , ist es richtig. Denn die Gleichung (f°g)°h= ((f°g)°h)(x) ergibt keinen Sinn. Auf der Linken Seite steht eine Funktion und auf der rechten Seite eine Zahl. Besser : Und dann kommen deine Rechnungen. Überlege dir nun was die Gleichung für das neutrale Element für Funktionen bedeutet! |
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| 01.11.2010, 14:30 | fikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
naja wenn man das neutrale element mit etwas verknüpft kommt immer das zu verknüpfende raus sprich neutrales element e a aus G : e*a=a (linksneutral) a aus G: a*e=a (rechtsneutral) damit ist e neutral und wenn man das jetzt auf die assoziativität der funktionen anwendet müsste man erkennen, das alle abbildungen verknüpft mit dem neutralen element sich selbst ergeben, da alle abbildungen bijektiv sind. ich glaub das ist großer unsinn den ich da erzähle aber ich hab sonst keine ahnung |
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| 01.11.2010, 14:34 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Eigenschaft der Assoziativität haben wir abgehakt. Du musst jetzt eine Funktion e finden, so dass gilt : und Du musst nachweisen, dass diese Funktion auch tatsächlich bijektiv ist (denn sonst gehört sie nicht zur Gruppe). Welche Funktion könnte das sein? (es ist eine sehr einfache) |
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| 01.11.2010, 14:46 | fikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
naja das wäre bei einer identischen abbildung für h: A nach B h°idA=h=idB°h |
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| 01.11.2010, 14:50 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, die Identität ist das neutrale Element, du musst aber noch zeigen, dass sie tatsächlich bijektiv ist. |
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| 01.11.2010, 15:09 | fikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
beweis für injektivität und surjektivität woraus bijektivität folgt h aus S(M) e neutrales element h: abb. von a nach b injektivität:= für alle x,y aus a mit x ungleich y gilt f(x) ungleich f(y) beweis annahme h(x)=h(y) d.h. x+1=y+1 x=y widerspruch --> h injektiv surjektivität:= für alle y aus b ein element x aus a mit f(x)=y exitiert --> f(a)=b mh da weiß ich jetzt auch nicht genau |
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| 01.11.2010, 15:16 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn h aus S(M) ist, dann ist . Insbesondere ist die Identität von M nach M (was würde eine Identität auf verschiedenen Mengen denn Ausdrücken ? )
Du bist in einer allgemeinen Gruppe, Du weisst gar nicht ob eine Addition für x,y definiert ist, wie willst Du dann x + 1 bestimmen? So geht das nicht. Du musst für die Abbildung zeigen, dass sie bijektiv ist. Nicht für irgendein h, das wissen wir doch schon längst. |
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| 01.11.2010, 15:28 | fikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
allgemein : sei m,n mengen und f:von m nach n abb f surjektiv wenn abb g:N nach M existiert sodass f°g= idN das ist allgemein surjektiv bei uns gewesen müsste dann e: von m nach M sein und somit h°e=idM=e°h ? und bei injektiv hatten wir allgemein gesagt es gibt noch einen abbildung h von n nach m sodass h°f =idM da aber nun bei der aufgabe e von m nach m gehen müsste wäre es der gleiche beweis wie bei surjektivität man könnte ja ein zweites neutrales element nehmen f wir wissen f°e=e°f=e=f somit wäre surjektivität h°f=idM bijektivität ist allgemein für abb g: von m nach n exitiert f°g=idN und g°f=idM auf die aufgabe bezogen wäre es dann ganz leicht wir haben h:von m nach m e von m nach m, mit x nach x h°f=idx und f°h=idx somit ist h bijektiv |
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| 01.11.2010, 15:39 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Interessante Definitionen von Injektiv und Surjektiv. So wie ich das überblicke, sind sie äquivalent zur üblichen Definition. Nach eurer Definition würde ich einfach schreiben, und fertig. Ein zweites neutrales Element existiert übrigens nicht, in Gruppen ist das neutrale Element stets eindeutig. Inverses Element : Jetzt musst Du nur noch zeigen, das für jedes Element in der Gruppe ein Inverses Element existiert. |
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| 01.11.2010, 15:49 | fikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
mh beweis für ein inverses element also wir haben h von m nach m und das neutrale element e von m nach m aus s(m) und für den beweis muss h°e=h=e°h für alle h aus G dann ist e das inverse element zu a |
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| 01.11.2010, 15:50 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es ist nicht hilfreich das inverse Element mit e zu bezeichnen. Schließlich haben wir für e schon das neutrale Element definiert, und wenn jemand e schreibt, will man ja wissen, was gemeint ist. Ich würde das inverse Element , wie üblich , mit bezeichnen. Ich denke mal, ihr habt schon gezeigt, dass bijektive Abbildungen stets inverse Abbildungen besitzen? |
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| 01.11.2010, 15:53 | fikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
nein haben wir nicht aber dann gilt trotzdem erstma h°h^-1=h=h^-1°h oder wie? |
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| 01.11.2010, 15:56 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, es gilt wenn h bijektiv ist. Nun gut, wenn Ihr das noch nicht gezeigt habt, ist es jetzt deine Aufgabe , dieses zu tun. Du weisst , das h bijektiv ist. Also gibt es zwei Funktionen (nach eurer Definition) f und g mit Du musst jetzt zeigen, das g = f ist. Dann Kannst Du definieren. Das inverse Element ist für jedes h anders! |
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| 01.11.2010, 15:57 | fikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
und es ist ja logisch das bijektive abbildungen immer nen inverses element haben weil bijektive abbildungen ja links und rechtsinvertierbar sind oder? |
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| 01.11.2010, 15:58 | fikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja okay ich setze mich mal dran |
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| 01.11.2010, 16:22 | fikus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
vllt beweist man das so (d.h. ich weiß es echt nich so..^^) zu zeigen g=f h°f=e g°h=e h°f äquivalent zu h(f(x))=h(y) und g°h=e müsste das gleiche sein auf grund der bijektivität wie h°g=e also h°g äquivalent zu h(g(x))=h(y) h(y)=h(y) äquivalent zu h=h also muss auch g=f da ja h°f=g°h oder wie sollte ich das angehen? |
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