äquivalenzrelation

01.11.2010, 13:50

ochrasy

äquivalenzrelation

$\begin{eqnarray*} X=\mathbb Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} xRy \end{eqnarray*}$ , genau dann wenn $\begin{eqnarray*} |y-x| \leq 3 \end{eqnarray*}$

jetzt soll ich zeigen, ob R eine äquivalenzrelation auf X ist.

d.h. ich muss zeigen dass dieses beispiel reflexiv,symmetrisch und transistiv ist, aber was genau muss ich da machen?

01.11.2010, 14:00

Mazze

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Du musst nachweisen das :

Reflexivität : $\begin{eqnarray*} |x - x| \leq 3 \end{eqnarray*}$ gilt (trivial)

Symmetrie : $\begin{eqnarray*} |x - y| \leq 3 \Rightarrow |y - x| \leq 3 \end{eqnarray*}$

Transitivität : $\begin{eqnarray*} |x - y| \leq 3 , |y - z| \leq 3 \Rightarrow |x - z| \leq 3 \end{eqnarray*}$

Hinweis : Eine der drei Eigenschaften ist verletzt.

02.11.2010, 10:07

ochrasy

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also auf den ersten blick hätte ich gesagt das dritte ist falsch aber eig müsste das zweite falsch sein weil x-y nicht gleich kleiner 3 sein muss

02.11.2010, 10:26

Mazze

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Die 3 ist falsch, aber wie kommst Du da drauf? Die 2 ist allerdings richtig. Du musst die Aussage richtig lesen :

$\begin{eqnarray*} |x - y| \leq 3 \Rightarrow |y - x| \leq 3 \end{eqnarray*}$

bedeutet :

Wenn $\begin{eqnarray*} |x - y| \leq 3 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} |y - x| \leq 3 \end{eqnarray*}$

Und diese Aussage ist auch (fast trivial) zu beweisen.

03.11.2010, 12:18

ochrasy

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und woran sehe ich dass das dritte falsch?

muss ich das dann umstellen und einsetzen?

03.11.2010, 12:42

baphomet

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Probier es doch mal einfach indem du fürx y und z Zahlen einsetzt, muss ja für alle gelten, ein Beispiel reicht aus um zu zeigen das es allgemein nicht gültig ist, kannst aber auch durch logsiches Denken drauf kommen
x=6
y=3
z=2

Dann schauen wir mal:
$\begin{eqnarray*} |6-3|\le 3 |3-2|\le 3 |6-2|=4 \end{eqnarray*}$

Bei Äquivalenzrelationen im R^2 hilft oft eine Matrix,daraufhin kann man die ersten beiden
Eigenschaften sofort ablesen.

03.11.2010, 14:59

ochrasy

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aber das kann ich doch bei der zweiten eigenschaft auch machen also einfach zahlen einsetzen warum ist das dann richtig?

03.11.2010, 15:05

Mazze

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Zitat:

aber das kann ich doch bei der zweiten eigenschaft auch machen also einfach zahlen einsetzen warum ist das dann richtig?

Weil Du keine Zahlen findest , die die zweite Aussage widerlegen würden.

04.11.2010, 10:44

ochrasy

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ich könnte doch wie oben y=6 und x=2 setzen

04.11.2010, 11:07

Mazze

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Du scheinst meine Hinweise gekonnt zu ingorieren oder?

Zitat:

Die 3 ist falsch, aber wie kommst Du da drauf? Die 2 ist allerdings richtig. Du musst die Aussage richtig lesen :

$\begin{eqnarray*} |x - y| \leq 3 \Rightarrow |y - x| \leq 3 \end{eqnarray*}$

bedeutet :

Wenn $\begin{eqnarray*} |x - y| \leq 3 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist auch $\begin{eqnarray*} |y -x| \leq 3 \end{eqnarray*}$

Und diese Aussage ist auch (fast trivial) zu beweisen.

Das ist die absolute Grundlage der Mathematik, die Prädikaten und Aussagenlogik. Vielleicht solltest Du dich erst einmal damit beschäftigen, weil Du keinen Beweis richtig verstehen kannst, wenn Du die Logik nicht verstanden hast. Aber zu deinem Post, die Symmetrie sagt folgendes :

Wenn $\begin{eqnarray*} |x - y| \leq 3 \end{eqnarray*}$ gilt, dann gilt auch $\begin{eqnarray*} |y - x| \leq 3 \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} |x -y| \leq 3 \end{eqnarray*}$ nicht gilt, dann ist es uns egal, weil dann gehört dieses Zahlenpaar nicht zur Relation. Um es deutlich zu machen, y = 6 und x = 2 gehören nicht zur Relation, denn sie erfüllen |x -y| <= 3 nicht.

Im Gegensatz dazu erfüllen x = 6, y = 3, z = 2 mit |x - y| <= 3, |y - z| <= 3, das heisst die Paare (x,y) und (y,z) gehören zur Relation. Die Transitivität sagt jetzt, das dann auch (x,z) dazu gehören muss. Offensichtlich ist aber |x - z| > 3, und damit gehört (x,z) nicht zur Relation, und damit ist die Relation nicht transitiv.

06.11.2010, 11:26

ochrasy

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kann jemand ein beispiel angeben wo die transistivität gegeben ist?

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