Untergruppen

01.11.2010, 14:38

galois

Untergruppen

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe bei der ich absolut nicht weiß, wie ich an diese rangehen soll. Könntet ihr mir vielleicht weiterhelfen?

$\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb{N} \rightarrow \mathfrak{P}(\mathbb{Z}):b \rightarrowtail \{bx | x \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray*}$

Ich soll nun folgendes zeigen, dass
i) $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ injektiv ist. Dazu soll ich mir laut Aufgabenstellung das kleinste, positive Element anschauen.
ii) $\begin{eqnarray*} \forall b \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} \phi(b) \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ darstellt.
iii) für jede Untergruppe U von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ es ein $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} U=\phi(b) \end{eqnarray*}$ ist.

WIE geht das zu zeigen!?

DANKE!

Edit: LaTeX korrigiert. Gruß, Reksilat.

01.11.2010, 15:53

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

i) hast du doch bereits nen Tipp
ii) Einfach die Definition einer Untergruppen durchrechnen
iii) Betrachte wieder das kleinste Element.

Wenn du selbst etwas versucht hast kannst du dazu ja genauere Fragen stellen

01.11.2010, 15:57

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Und verwende bitte beim nächsten Mal die Vorschau! Dann hättest Du gleich gesehen, dass Du die falschen LaTeX-Tags verwendest.

Gruß,
Reksilat.

01.11.2010, 16:35

galois

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kiste
i) hast du doch bereits nen Tipp

Ich weiß leider null, was ich mit diesem Tipp anfangen soll.

Ich wähle ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , z.B. das kleinste Element, die 1.
Jetzt weiß ich nicht, was ich mit diesem $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ anfangen soll.
Ich weiß lediglich, daß die kompletten natürlichen Zahlen auf die ganzen Zahlen abgebildet werden (oder ist das auch falsch?).
WIE gehe ich hier vor? Ich möchte ja nicht nur eine Lösung präsentiert haben, sondern diese auch schlüssig erklärt. Ich will das wirklich, wirklich verstehen.

Zitat:

Original von kisteii) Einfach die Definition einer Untergruppen durchrechnen

Hier stehe ich auch vor dem nächsten Problem.
Ich weiß aus den Untergruppenaxiomen, dass es
a) ein neutrales Element in der Untergruppe gibt.
b) ein Inverses und
c) daß es abgeschlossen ist, d.h. ein $\begin{eqnarray*} a,b \in U \end{eqnarray*}$ (U Untergruppe).

Doch, wie prüfe ich das?

zu iii) kann ich ja dann wieder Fragen stellen, wenn sich i) und ii) klären würde. unglücklich

01.11.2010, 17:47

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Nehme dir doch einmal ein b, z.B. b=2. Welche Menge kommt dann heraus? Welche Elemente im Intervall sagen wir einmal [-10,10] sind in dieser Menge?

01.11.2010, 17:56

galois

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kiste
Nehme dir doch einmal ein b, z.B. b=2. Welche Menge kommt dann heraus? Welche Elemente im Intervall sagen wir einmal [-10,10] sind in dieser Menge?

Ist die Menge, die da rauskommt, folgende, da $\begin{eqnarray*} b=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?
-20, -18, -16, -14, -12, -10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20

Das kleinste, positive Element ist hier 2.

01.11.2010, 20:00

galois

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habe die i) gelöst, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ injektiv ist.

Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}, \mathfrak{P}(Z), \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ Mengen und $\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb{N} \rightarrow \mathfrak{P}(\mathbb{Z}):b \rightarrowtail \{bx | x \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray*}$

Behauptung: $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist injektiv.

Beweis:
Sei $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ein Element $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} \phi(m) = mx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
Das kleinste, positive Element ist hier für $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$ und es folgt: $\begin{eqnarray*} \phi(m) = m \end{eqnarray*}$ .

Sei nun $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ein Element $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y \ne m \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} \phi(y) = yx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
Das kleinste, positive Element ist hier für $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$ und es folgt: $\begin{eqnarray*} \phi(y) = y \end{eqnarray*}$ .

Angenommen, $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ sei nicht injektiv. Dann müsste gelten:
$\begin{eqnarray*} \phi(m) = \phi(y) \end{eqnarray*}$ . Da aber $\begin{eqnarray*} \phi(m) = m \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} \phi(y) = y \end{eqnarray*}$ ist, gilt hier $\begin{eqnarray*} \phi(m) \ne \phi(y) \end{eqnarray*}$ und somit ist f injektiv!

Stimmt der Beweis so?!

01.11.2010, 20:50

galois

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untergruppen

Zitat:

Original von galois
ii) $\begin{eqnarray*} \forall b \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} \phi(b) \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ darstellt.

Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist eine Gruppe.
Behauptung: $\begin{eqnarray*} \forall b \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} \phi(b) \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ darstellt.
Beweis:
Untergruppenaxiome prüfen:

i) Assoziativität: Folgt aus der Eigenschaft, daß $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist und $\begin{eqnarray*} \phi(m) \subseteq \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
ii) Neutrales Element: Es gibt zu jedem $\begin{eqnarray*} \phi(m) \end{eqnarray*}$ ein neutrales Element $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , sodass gilt: Zu jedem $\begin{eqnarray*} \phi(m) = mx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \phi(-m) = -mx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Es gilt: $\begin{eqnarray*} \phi(m) \oplus \phi(-m) = 0 \in \phi(m) \end{eqnarray*}$
iii) Inverses Element: Ist $\begin{eqnarray*} b \in \phi(m) \end{eqnarray*}$ , so gilt: $\begin{eqnarray*} 0 \oplus \phi(b) = \phi(b) \in \phi(m) \end{eqnarray*}$ .
iv) Abgeschlossenheit: Sind $\begin{eqnarray*} a, b \in \phi(m) \end{eqnarray*}$ , so gilt auch $\begin{eqnarray*} \phi(a) \oplus \phi(b) \in \phi(m) \end{eqnarray*}$ .

--> $\begin{eqnarray*} \phi(m) \end{eqnarray*}$ ist Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

01.11.2010, 21:09

galois

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untergruppen

Zitat:

Original von galois

Zitat:

Hier sollte die Behauptung lauten:

Behauptung: $\begin{eqnarray*} \forall m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} \phi(b) \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ darstellt.

Anstatt b sollte ein m stehen.

Stimmen meine beiden Beweise so?

02.11.2010, 08:26

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

schreibe wenn möglich bitte alles in einen Beitrag. Doppelposts, und damit erst recht 4fach Posts, sind hier nicht gern gesehen.

Zitat:

Original von galois
Behauptung: $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist injektiv.

Beweis:
Sei $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ein Element $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} \phi(m) = mx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Nein $\begin{eqnarray*} \phi(m) \end{eqnarray*}$ ist eine Menge, kein Element. Es ist doch $\begin{eqnarray*} \phi(m) = \{mx \mid x\in \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Das kleinste, positive Element ist hier für $\begin{eqnarray*} x = 1 \end{eqnarray*}$ und es folgt: $\begin{eqnarray*} \phi(m) = m \end{eqnarray*}$ .

Das kleinste Element richtig bestimmt, die Folgerung passt aber nicht. Phi(m) ist immernoch eine Menge!

Der Rest des Beweises ist folglich auch falsch aufgeschrieben. Die Idee ist aber richtig: Für zwei verschiedene Zahlen ist das kleinste Element auch verschieden.

Zitat:

Original von galois
i) Assoziativität: Folgt aus der Eigenschaft, daß $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist und $\begin{eqnarray*} \phi(m) \subseteq \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Stimmt

Zitat:

ii) Neutrales Element: Es gibt zu jedem $\begin{eqnarray*} \phi(m) \end{eqnarray*}$ ein neutrales Element $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , sodass gilt: Zu jedem $\begin{eqnarray*} \phi(m) = mx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} \phi(-m) = -mx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Es gilt: $\begin{eqnarray*} \phi(m) \oplus \phi(-m) = 0 \in \phi(m) \end{eqnarray*}$

Dort hast du wieder in komischer Art und Weise phi benutzt. Es ist immer noch phi(m) eine Menge. Du musst nur zeigen dass 0 darstellbar ist als m*x für gegebenes m und wählbares x.

Zitat:

iii) Inverses Element: Ist $\begin{eqnarray*} b \in \phi(m) \end{eqnarray*}$ , so gilt: $\begin{eqnarray*} 0 \oplus \phi(b) = \phi(b) \in \phi(m) \end{eqnarray*}$ .

Das macht überhaupt keinen Sinn. Arbeite wieder mit der Darstellung m*x für ein gegebens Element.

Zitat:

iv) Abgeschlossenheit: Sind $\begin{eqnarray*} a, b \in \phi(m) \end{eqnarray*}$ , so gilt auch $\begin{eqnarray*} \phi(a) \oplus \phi(b) \in \phi(m) \end{eqnarray*}$ .

Du hast hier nur die Behauptung abgeschrieben, und das nicht einmal richtig. Was soll $\begin{eqnarray*} \phi(a)\oplus \phi(b) \end{eqnarray*}$ sein?

Zitat:

Nein. m kommt doch gar nicht in der Aussage vor. Das bleibt mal schön für alle b, nicht für alle m Augenzwinkern

02.11.2010, 10:10

galois

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kiste
Hallo,

schreibe wenn möglich bitte alles in einen Beitrag. Doppelposts, und damit erst recht 4fach Posts, sind hier nicht gern gesehen.

Hallo,

ok, geht klar.

Ich verstehe nur eines nicht. Ich muß doch für komplett $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ beweisen, daß es injektiv ist. Nicht nur für eine Menge aus $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von kisteDas kleinste Element richtig bestimmt, die Folgerung passt aber nicht. Phi(m) ist immernoch eine Menge!

Wie mache ich das dann? So in etwa? (Muß das Blatt morgen früh schon abgeben. Augenzwinkern

)
Sei $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ein Element $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} \phi(m) = \{mx \mid x\in \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ .

Wähle: kleinstes, positives Element -> Das ist ja $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} x=1 \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Was kann ich denn mit diesem Element $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \phi(m) \end{eqnarray*}$ anfangen?

Und jetzt?? Ich brauche ja noch immer eine andere Menge $\begin{eqnarray*} \phi(n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , damit ich zeigen, kann dass komplett $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ injektiv ist und nicht nur eine Menge.

Falls ich hier falsch liege, kannst du mir den Lösungsweg zeigen? Ich komme nicht darauf.

Zitat:

Dort hast du wieder in komischer Art und Weise phi benutzt. Es ist immer noch phi(m) eine Menge. Du musst nur zeigen dass 0 darstellbar ist als m*x für gegebenes m und wählbares x.

Ok, dann zeige ich es, daß es die 0 gibt. smile

-Stimmt es denn so:
ii) Neutrales Element: Es gibt zu jedem $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ein neutrales Element $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , sodass gilt: Zu jedem $\begin{eqnarray*} \phi = bx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gibt es ein neutrales Element $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Es gilt nämlich für: $\begin{eqnarray*} \phi = bx = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x = 0 \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . => $\begin{eqnarray*} \phi = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x = 0 \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Das macht überhaupt keinen Sinn. Arbeite wieder mit der Darstellung m*x für ein gegebens Element.

iii) Inverses Element:
Ist $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so gilt: $\begin{eqnarray*} \phi(m) = \{mx \mid x\in \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ . Aus dem neutralen Element, weiß ich, daß es 0 ist. Da $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , gibt es ein $\begin{eqnarray*} x > 0 \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ (z.B. x = 4) und dazu ein (entgegengerichtetes, negatives) $\begin{eqnarray*} x < 0 \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ (x = -4) und es gilt: m*x + (-mx) = 0. --> Es existiert ein inverses Element.

Zitat:

Du hast hier nur die Behauptung abgeschrieben, und das nicht einmal richtig. Was soll $\begin{eqnarray*} \phi(a)\oplus \phi(b) \end{eqnarray*}$ sein?

iv) Abgeschlossenheit:
Ist $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so gilt: $\begin{eqnarray*} \phi(m) = \{mx \mid x\in \mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ . Dann habe ich hier in dieser Menge eine Verknüpfung mit den Elementen für unterschiedliche $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{Z}], z.B [latex]x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ , für die gilt: $\begin{eqnarray*} (m*x_1 + m*x_2) \in \phi(m) \end{eqnarray*}$ => Abgeschlossen!

Stimmt das so?

Neue Frage »

Antworten »

Untergruppen

Verwandte Themen