Körpererweiterungen

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13.11.2006, 11:11	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Körpererweiterungen Hi... ich soll den Grad von ein paar Körpererweiterungen bestimmen... die erste: $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt{2}) / \mathbb Q \end{eqnarray}$ hat meiner meinung nach den Grad 2, denn $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt{2}) = <1,\sqrt{2}> \end{eqnarray}$ die zweite: $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt{2},\sqrt{3}) / \mathbb Q \end{eqnarray}$ hat den Grad 3, denn die Basis besteht wirklich aus 3 Elementen... - $\begin{eqnarray} 1, \sqrt{2},\sqrt{3} \end{eqnarray}$ sind über Q linear unabhängig... die dritte: $\begin{eqnarray} \mathbb Q{\sqrt[4]{2}} / \mathbb Q(\sqrt{2}) \end{eqnarray}$ jetzt wirds schwieriger... also ich würde sagen grad 2. die vierte: $\begin{eqnarray} \mathbb Q(w) / \mathbb Q \textnormal{ mit } w^7 = 1, w \neq 1 \end{eqnarray}$ ich würde sagen, dass dann $\begin{eqnarray} \mathbb Q(w) = <1,e^{i\phi}> \end{eqnarray}$ und somit auch grad 2... stimmt das?
13.11.2006, 16:20	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körpererweiterungen Hi! Erstens stimmt, zweitens würde ich sagen nicht - Tipp: Gradformel! Aber du hast es ja jetzt einfach nur so hingeschrieben und nicht begründet, wie du darauf gekommen bist. Ich will es mal an einem Beispiel machen: Wir bestimmen den Grad der Körpererweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt[3]{2}):\mathbb Q \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} \alpha=\sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ Nullstelle des Polynoms $\begin{eqnarray} x^3-2\in \mathbb Q[x] \end{eqnarray}$ . Dieses hat keine rationalen Nullstellen und ist daher als Polynom von Grad 3 (und nach dem Eisenstein-Kriterium und dem Satz von Gauß) irreduzibel über Q. Folglich gilt: $\begin{eqnarray} x^3-2=m_{\alpha,\mathbb Q}~\operatorname{mit}~ m_{\alpha, \mathbb Q}~\operatorname{Minimalpolynom} \end{eqnarray}$ . Die Körpererweiterung hat somit den Grad 3. Eine Basis wäre gegeben durch $\begin{eqnarray} (1,\alpha,\alpha^2) \end{eqnarray}$ ... Hoffe, dass ist klar geworden - und ich hab mich nicht wieder irgendwo vertippt
14.11.2006, 07:58	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
also geht es darum ein Minimalpolynom für $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ zu finden und dessen Grad ist der Grad der Körpererweiterung? d.h. bei zweitens hab ich erstmal zwei Teilpolynome, die zusammen ein Polynom 4. Grades ergeben und deswegen ist die Körpererweiterung bei zweitens vom Grad 4?
14.11.2006, 15:37	vektorraum	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Hast insofern recht, dass wir bei diesen Überlegungen uns auch immer das Minimalpolynom angucken. Es gilt doch: Sei $\begin{eqnarray} L:K \end{eqnarray}$ eine Körpererweiterung. Ist $\begin{eqnarray} L=K(\alpha) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ algebraisch über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} [L:K] \end{eqnarray}$ der Grad des Minimalpolynoms $\begin{eqnarray} m_{\alpha,K} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ über K, und $\begin{eqnarray} 1,\alpha,...,\alpha^{\operatorname{grad}~m-1} \end{eqnarray}$ ist eine Basis der Körpererweiterung. Zweitens müsste auch stimmen
14.11.2006, 17:12	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
gut danke - heute in der Vorlesung hab ich das dann auch mitgeschnitten... - alles klar
15.11.2006, 16:49	Matsch	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also die ersten 3 Fälle sind mir klar, aber bei mir habert's an der 4.! Wie kommst du auf deine Basis und wieso ist (e hoch ip) hoch 7 = 1 ? (hab keine ahnung wie man das so schreibt, wie ihr das immer macht). Und wie kann ich das dann mit den Minimalpolynomen zeigen? Gleich noch ne Frage zur 2. Aufgabe: Kann man denn die Abb. einfach als Matrix ansehen? Also: f(x)= (a 0) (x 0) (0 a) (0 x) (solln Matrizen sein :-) ) Sonst wüste ich zumindest nicht, wie ich das charakteristische Polynom bilden soll (und natürlich auch das Minimalpolynom) ! Wäre Hilfe sehr dankbar! mfg Matsch
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15.11.2006, 16:51	Matsch	Auf diesen Beitrag antworten »
(a 0) (x 0) (0 a) (o x) Wie gesagt, hab keen Plan, wie man das ordentlich schreiben kann.
15.11.2006, 17:20	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 4. das ist oben noch voll falsch - ich habs auch erst verstanden, nachdem beitrag von vektorraum... versuch doch mal ein Minimalpolynom von w über Q zu finden... wenn w = 1 wäre, dann hättest du z.B. P(x) = x-1... - aber da w nicht 1 ist, musst du dir was neues überlegen... zu 2. klar - das ist ne lineare Abbildung, die kannst du als Matrix auffassen - ist auch eine gute Idee, dass so zu machen...
16.11.2006, 11:50	Matsch	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Ich aber immernoch das Problem, dass ich doch nicht weiß, wie das w aussieht?! Ich meine x hoch 7 - 1 wäre ja ein Polynom mit NST w, aber wie zeig ich, dass das ein Minimalpolynom ist? Also woher weiß ich, dass nicht auch x hoch i - a , mit i kleiner 7 und a Element Q, ein Polynom mit NST w ist? Wäre natürlich wieder sehr dankbar für ne Antwort! mfg Matsch
16.11.2006, 14:45	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich kann dir vielleicht schonmal sagen, dass x^7-1 nicht das Minimalpolynom ist, denn es ist nicht irreduzibel, aber ein Minimalpolynom sollte irreduzibel sein... du kannst es aufspalten in zwei Polynome... - und dann kommt die sache, dass w nicht 1 ist zum tragen... diese beiden Polynome sind dann irreduzibel ( musst du eventuell noch zeigen ) und dann bist du fertig...
16.11.2006, 17:13	Matsch	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo, gemacht. Und bei mir hat das jetzt den Grad 6?! Noch ne Anmerkung zu 18.b): Du kannst da nicht einfach die zwei Polynome multiplizieren. Du musst die Formel aus dem Skript nutzen, also: [Q(W2,W3)/Q]=[Q(W2,W3)/Q(W2)] * [(Q(W2)/Q] Damit kommt zwar auch 4 raus, aber uns wurde heut im Seminar gesagt, dass man das nicht so machen kann.
16.11.2006, 17:20	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke - werd ich berücksichtigen

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