Konvergenz

01.11.2010, 17:57

sandra90

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Konvergenz

Meine Frage:
Hallo,

ich versuche gerade folgende Aufgabe zur Konvergenz von Folgen zu lösen:

Prüfe die Richtigkeit der Aussage: Jede Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n=1..\infty \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} |a_{n+1} - a_{n} | -> 0, n -> \infty \end{eqnarray*}$ erfüllt, konvergiert.

Meine Ideen:
Eine Folge konvergiert ja wenn folgendes gilt:

Eine Folge $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ , falls es du jedem $\begin{eqnarray*} e>0 \end{eqnarray*}$ eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} N<+\infty \end{eqnarray*}$ gibt, so dass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |x_{n} - x_{0}| \leq e \end{eqnarray*}$

Aber ich weiß jetzt nicht genau wie ich genau ansetzten soll bzw. wenn die Aussage falsch ist wie ich ein Gegenbeispiel finden soll.

01.11.2010, 18:07

tmo

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Kennst du schon den Begriff der Cauchy-Folge?

01.11.2010, 18:10

sandra90

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Der Begriff kam bei uns noch nicht vor. Muss ich denn wissen was eine Cauchy-Folge ist um die Aufgabe zu lösen?

01.11.2010, 18:12

tmo

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Nein, ich habe nur gefragt, um zu entscheiden, was ich schreibe.

Nunja, nun überleg mal. Die einzige Möglichkeit die du hast, um Konvergenz nachzuweisen, ist die Definition. Dazu brauch man aber schon einen konkreten Kandidaten für einen Grenzwert. Den hast du hier aber nicht. Also macht die Aufgabe nur Sinn, wenn sie falsch ist und du ein Gegenbeispiel suchen sollst Big Laugh

Big Laugh

01.11.2010, 18:20

sandra90

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Ah ok, das hilft schonmal. Freude

Freude

Also muss ich jetzt eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_{n}) \end{eqnarray*}$ finden, die $\begin{eqnarray*} |a_{n+1} - a_{n} | -> 0, n -> \infty \end{eqnarray*}$ erfüllt, aber divergiert.

Die einzige divergente Folge die ich bis jetzt kenne ist $\begin{eqnarray*} (a_{n})=(-1)^n \end{eqnarray*}$ . Dann müsste ich jetzt also prüfen ob diese Folge dennoch die Bedingung erfüllt oder?

01.11.2010, 18:28

tmo

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Dann prüfe das mal nach? Was ist hier denn $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}-a_n| \end{eqnarray*}$ ?

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01.11.2010, 18:38

sandra90

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Das wäre ja dann $\begin{eqnarray*} |(-1)^{n+1} - (-1)^{n} | \end{eqnarray*}$ . Aber ich weiß nicht genau wie es dann weite rgeht. Kann ich dass dann einfach subtrahieren also $\begin{eqnarray*} |(-1)^{1}| \end{eqnarray*}$ ?

Bin mir da nicht wirklich sicher.

01.11.2010, 18:53

tmo

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Schreibe doch mal die Glieder der Folge hin und berechne jeweils den Abstand benachbarter Folgenglieder. Dann siehst du doch schon was passiert.

01.11.2010, 19:02

sandra90

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Ich bin mir nicht sicher, was du genau meinst.

Die Glieder der Folge sind doch 1, -1 ,1 ,-1, 1 ...

Und der Anstand benachbarter Folgenglieder ist 2 und bleibt immer gleich.

Heißt dass dann schon das $\begin{eqnarray*} |a_{n+1} - a_{n} | -> 0 \end{eqnarray*}$ ??

01.11.2010, 19:04

tmo

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Wenn der Abstand immer 2 bleibt, dann geht er doch sicher nicht gegen 0. Also taugt dein Gegenbeispiel was oder taugt es nichts?

01.11.2010, 19:09

sandra90

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Ja das hab ich mir schon gedacht, dass es dann nichts taugt. Hammer

Hammer

Also muss ich $\begin{eqnarray*} (a_{n})=(-1)^n \end{eqnarray*}$ jetzt so anpassen das der Abstand immer gegen 0 geht.

01.11.2010, 19:12

tmo

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Das wird dir kaum gelingen. Nimm lieber eine streng monoton wachsende Folge als Gegenbeispiel.

01.11.2010, 19:23

sandra90

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Also eine streng monoton wachsende Folge ist doch z.B. $\begin{eqnarray*} (a_{n})=n \end{eqnarray*}$ .

Aber da haben alle benachbarten Folgenglieder den Abstand 1. Kann ich die Folge den anpassen oder klappt das damit auch nicht?? Irgendwie krieg ich das nämlich nicht hin.

01.11.2010, 19:27

René Gruber

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Zitat:

Original von sandra90
Kann ich die Folge den anpassen

Durchaus - man muss das Problem bei der Wurzel packen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.11.2010, 19:38

sandra90

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Also für $\begin{eqnarray*} (a_{n})=\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ geht für $\begin{eqnarray*} n-> \infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} |\sqrt{n+1} - \sqrt{n} | -> 0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} (a_{n})=\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ divergiert doch, nicht oder stehe ich gerade total auf dem Schlauch ??

01.11.2010, 19:40

René Gruber

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Zitat:

Original von sandra90
aber $\begin{eqnarray*} (a_{n})=\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ divergiert doch, nicht

Bis zum Komma stimmt's - aber das "nicht" danach verwirrt mich.

verwirrt

01.11.2010, 19:45

sandra90

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Also ist $\begin{eqnarray*} (a_{n})=\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ divergent, weil streng monoton steigend. Reicht das als Begründung oder muss ich das noch beweisen.

Ich war nur verwirrt, weil der Prof irgendwann mal was von Konvergenz gegen unendlich gesagt hat.

01.11.2010, 19:47

René Gruber

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Zitat:

Original von sandra90
Also ist $\begin{eqnarray*} (a_{n})=\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ divergent, weil streng monoton steigend.

Nein, nicht deswegen. unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} b_n = 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist auch streng monoton steigend, allerdings dann konvergent.

$\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist ganz einfach unbeschränkt und deswegen dann divergent - genauer gesagt sogar bestimmt divergent gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ .

01.11.2010, 19:50

sandra90

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Ah ok. Dann ist jetzt alles klar. Vielen Dank für die Hilfestellungen. Wink

Wink

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