Kardioide berechnen

01.11.2010, 18:47	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Kardioide berechnen Hallo, habe im Forum nur so "halb-passende" Sachen für meine Kardioiden Berechnung gefunden: DIe Fläche folgender Kardioide soll berechnet werden: $\begin{eqnarray} x=cos\phi+cos²\phi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=sin\phi+cos\phisin\phi \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0\leq \phi\leq 2\pi \end{eqnarray}$ Jo gute frage wie ich das nun mache. Hätte den Ansatz: $\begin{eqnarray} \int_A f(g(u))\| det g'(u)\| du \end{eqnarray}$ Auf meine Aufgabe übertragen: $\begin{eqnarray} \int_A f(cos\phi+cos²\phi , sin\phi+cos\phisin\phi)\| det g'(u)\| d\phi \end{eqnarray}$ Nur die Determinante der Jakobi Matrix würde mir dann Schwierigkeiten bereiten, da ich ja nur eine Variable (phi) hätte und dann eine 2x1 Matrix hätte, wovon ich ja keine Determinante nehmen kann. Im Internet habe ich etwas über Sektorformel gelesen etc. Dort war aber jeweils noch von einer weiteren Variable r die Rede, die bei mir ja nicht vorkommt (ist sie eventuell stets 1 ? ). Vielleicht könntet ihr mir ein paar Tipps geben bzw. Ansätze, damit ich die Aufgabe weiter selbstständig lösen kann Merci beaucoup!
02.11.2010, 12:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du dir schon ein Bild von der Fläche gezeichnet? Da die Kurve durch Polarkoordinaten beschrieben wird, empfehlen sich auch für die Integralberechnung Polarkoordinaten: $\begin{eqnarray} x = r \cos \varphi \, , \ \ y = r \sin \varphi \, ; \ \ r \geq 0 \, , \ 0 \leq \varphi \leq 2 \pi \end{eqnarray}$ Ist nun $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ die Menge aller Punkte $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ , die im Innern oder auf dem Rand der Kardioide liegen, und $\begin{eqnarray} K^{} \end{eqnarray}$ die Beschreibung dieser Punkte in Polarkoordinaten $\begin{eqnarray} (r,\varphi) \end{eqnarray}$ , so gilt: $\begin{eqnarray} \int_K \dd (x,y) = \int_{K^{}} r~\dd (r,\varphi) \end{eqnarray}$ Das ist die Transformationsformel für den Flächeninhalt von kartesischen Koordinaten auf Polarkoordinaten. Um das mit deiner viel allgemeineren Formel in Einklang zu bringen, mußt du nur $\begin{eqnarray} f(x,y) = 1 \end{eqnarray}$ (konstant) und $\begin{eqnarray} g(r,\varphi) = \left( r \cos \varphi \, , \, r \sin \varphi \right) \end{eqnarray}$ setzen. Dann siehst du das. Um nun das Integral rechts auswerten zu können, mußt du eine Vorstellung davon haben, was Polarkoordinaten sind und wie diese die Kardioidenpunkte beschreiben (siehe hier). Letztlich führt dann Fubini ans Ziel: $\begin{eqnarray} \int_{K^{}} r~\dd (r,\varphi) = \int_{I_{\varphi}} \left( \ \int_{J_r(\varphi)} r~\dd r \right)~\dd \varphi \end{eqnarray}$ Hier ist $\begin{eqnarray} I_{\varphi} \end{eqnarray}$ das Intervall der in Frage kommenden Winkel $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} J_r(\varphi) \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit vom jeweiligen $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ das Intervall der Radien $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ , so daß sämtliche Flächenpunkte erfaßt werden. Ich würde jetzt erst einmal damit anfangen, die Kurve zu zeichnen, und zwar von Hand! Nur so bekommst du ein "Gefühl für die Sache". Gib dir ein paar $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ vor, z.B. von $\begin{eqnarray} \varphi = 0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} \varphi = 2 \pi \end{eqnarray}$ im Abstand $\begin{eqnarray} \Delta \varphi = \frac{\pi}{8} \end{eqnarray}$ und berechne die zugehörigen Radien $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray*}$ . Zeichne dann die Kuvenpunkte.
02.11.2010, 23:02	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok habe ca. 90% Verstanden, nur wie ich auf die Polarkoordinaten komme ist noch leicht "nicht verstanden" : Quasi nur über das zeichnen und dann überlegen wie die lauten könnten in Abhängigkeit von r und phi? Oder kann man das auch berechnen? Beste Grüße und vielen Dank für die ausführliche Erklräung, ist mir deutlich klarer geworden Leopold!!
03.11.2010, 10:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau einmal hier. (Dort redet der Fragesteller übrigens vom "Karolioid", was später zu einer "Karodioide" verschlimmbessert wird. Natürlich ist es die Kardioide ...)
03.11.2010, 16:11	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das ich bei einer Gleichung wie im Beitrag von raphaelllo ("Karolioid") das x und das y durch $\begin{eqnarray} x = r \cos \vartheta \, , \ \ y = r \sin \vartheta \end{eqnarray}$ ersetzen muss um auf Polarkoordinaten zu gelangen ist mir klar. Nur bei mir habe ich ja z.B. $\begin{eqnarray} x=cos\phi+cos²\phi \end{eqnarray}$ Hier kann ich ja jetzt nicht x einfach ersetzen, und sofort hätte ich Polarkoordinaten? In raphaelllo's Beitrag habe ich ja eine Gleichung die von x,y abhängig ist, nicht aber noch von einem $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ . Aufgemalt habe ich die Kardioide übrigens, ähnelt einem Herz Hoff du hilfst mir nochmal
03.11.2010, 19:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} r = \sqrt{x^2 + y^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ hängen ja von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ab. Jetzt solltest du $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ berechnen können.
Anzeige

03.11.2010, 22:01	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
ok dann habe ich $\begin{eqnarray} r(\varphi)=cos\varphi+1 \end{eqnarray}$ berechnet, damit dürfte es ja nun klappen ;-) Nur kurz eine andere Frage, Kardioide werden ja in Polarkoordinaten immer dargestellt als: $\begin{eqnarray} r(\varphi)=a cos\varphi+1 \end{eqnarray}$ , das heißt mein Faktor a bestimmt die Größe der Kardioide. Nur wie kommt der dann beim Integrieren zu tragen? Durch meine zweite Grenze die [0,r(\varphi)] ist, also $\begin{eqnarray} r(\varphi)=a* cos\varphi+1 \end{eqnarray*}$ ist? Gruß und besten Dank Leopold

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »