Gruppe gerader Ordnung, min. 2 Selbstinverse

01.11.2010, 21:46	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe gerader Ordnung, min. 2 Selbstinverse Hallo! Die Aufgabe lautet: Zeige, daß jede Gruppe gerader Ordnung außer dem neutralen Element noch min. ein weiteres selbstinverses Element besitzt. Ich habe die Aufgabe jetzt vermeintlich gelöst, habs recht geradeaus gemacht, war relativ einfach und ich denke deshalb, ich hab wohl nicht alles richtig gezeigt: Die gerade Ordnungszahl interpretiere ich einfach als 2n für n aus N. e sei das Neutralelement. Es gibt 2n Elemente in der Gruppe, falls es noch ein selbstinverses Element gibt ausser dem e muss es in $\begin{eqnarray} G\setminus\{e\} \end{eqnarray}$ . Für jenes gibt es also 2n-1 Möglichkeiten. Sei $\begin{eqnarray} G\setminus\{e\}=\{a_1,\hdots, a_{2n-1}\} \end{eqnarray}$ . Jetzt durchlaufe ich einfach diese Menge iterativ: Falls $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ nicht selbstinvers ist, so ex. $\begin{eqnarray} a_1^{-1} \end{eqnarray}$ in der Menge mit $\begin{eqnarray} a_1a_1^{-1}=e \end{eqnarray}$ . Betrachte nun $\begin{eqnarray} G\setminus\{e,a_1,a_1^{-1}\} \end{eqnarray}$ Falls das nächste Element dieser Menge nicht selbstinvers ist, so ex. ein Inverses in der menge. Betrachte nun... etc.pp. Dann könen maximal $\begin{eqnarray} \frac{2n-2}{2}=n-1 \end{eqnarray}$ nicht selbstinvers sein ud selbst in diesem Maximalfall bleibt ein Element über für das es ein Inverses außer sich selbst geben kann. o.E. ist also mindestens das Element $\begin{eqnarray} a_{2n-1} \end{eqnarray}$ selbstinvers. kann man das so machen? grüße, schmo
01.11.2010, 22:22	gitterrost4	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe gerader Ordnung, min. 2 Selbstinverse Sieht gut aus.
01.11.2010, 23:08	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
haha, das freut mich. danke!

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