Relationen

01.11.2010, 22:04	pansox	Auf diesen Beitrag antworten »
Relationen Hallo liebe Community, ich suche seit Ewigkeiten das Internet ab und auch dieses Forum. Es geht um reine Relation. Ich soll sagen, ob es eine Aquivalenzrelation ist, oder nicht. Die Theorie ist mir sehr wohl bekannt: symmetrisch, reflexiv und transitiv. Auch sind mir die Formeln bekannt, aber angefangen bei der Symmetrie, verstehe ich diese Formeln nicht. Beispiel reflexiv: Zunächst meine Relation: R={(x,y) x+y=100} (Kein Universum angegeben) Reflexiv, also: $\begin{eqnarray} \forall x R(x,x) \end{eqnarray}$ Aber was ist damit gemeint? Ist damit gemeint x+x=100? Wenn ja, gilt dies ja nicht für jedes x, somit nicht reflexiv? Beispiel symmetrisch: $\begin{eqnarray} \forall x,y R(x,y) \to (y,x) \end{eqnarray}$ Also y+x=100? Würde ja gehen. Beispiel transitiv: Hier sehe ich gar nicht durch. Wie kann ich zeigen, dass diese Relation transitiv ist, wenn es nur x und y gibt und keine dritte Variable? Wäre für Verständnishilfe unglaublich dankbar. Viele Grüße
01.11.2010, 22:58	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sollte schon dabei stehen, auf welcher Menge die Relation definiert ist, ich nehm jetzt einfach mal $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ (geht aber genausogut mit $\begin{eqnarray} \mathbb N,~\mathbb Z \end{eqnarray}$ etc.). Die Relation ist nicht reflexiv, weil wie du schon gesagt hast nicht für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} x+x=100 \end{eqnarray}$ . Die Relation ist symmetrisch, da die Addition kommutativ ist, also für $\begin{eqnarray} (x,y)\in R \end{eqnarray}$ damit auch $\begin{eqnarray} (y,x)\in R \end{eqnarray}$ ist. Was meinst du mit "es gibt keine dritte Variable"? Überleg dir erstmal ob die Relation überhaupt transitiv ist oder ob es vllt. einfach zu sehende Gegenbeispiele gibt.
01.11.2010, 23:42	pansox	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo lorek, Vielen Dank für deine Antwort zu solch später Stunde. Unter transitiv habe ich verstanden: wenn aus a b folgt und aus b c folgt, muss a auch c folgen. Und das sind meine drei genannten "Variablen". Daher weiß ich leider nicht, wie ich diese letzte Eigenschaft beweisen oder widerlegen kann. Vielen Dank für die Hilfe. Viele Grüße
01.11.2010, 23:53	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das was du beschreibst, ist aber nicht die Transitivität für eine Relation (so wie du es schreibst sieht es mehr nach Aussagen A, B, C aus). Du meinst: $\begin{eqnarray} (x,y),~(y,z)\in R \Rightarrow (x,z)\in R \end{eqnarray}$ . Um die Transitivität nachzuweisen nimmst du jetzt einfach $\begin{eqnarray} (x,y)\in R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (y,z)\in R \end{eqnarray}$ , und zeigst, dass dann auch $\begin{eqnarray} (x,z)\in R \end{eqnarray}$ sein muss. Ein einfaches Beispiel: Wir definieren auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ eine Relation durch $\begin{eqnarray} x\sim y \Leftrightarrow x\leq y \end{eqnarray}$ . Diese Relation ist reflexiv (warum?) und nicht symmetrisch (warum?). Zur Transitivität: Seien $\begin{eqnarray} (x,y),(y,z)\in R \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} x\leq y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y\leq z \end{eqnarray}$ . Damit ist dann $\begin{eqnarray} x\leq y \leq z \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} (x,z)\in R \end{eqnarray}$ , also ist die Relation transitiv.
02.11.2010, 08:43	pansox	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen! Zu dem Beispiel: $\begin{eqnarray} x \leq y \end{eqnarray}$ . Reflexiv würde bedeuten: $\begin{eqnarray} x \leq x \end{eqnarray}$ , was in Verbindung mit einem Allquantor eine wahre Aussage wäre! Symmetrisch würde bedeuten: $\begin{eqnarray} y \leq x \end{eqnarray}$ . Hier bin ich mir nicht sicher. Sicherlich gibt es nicht für jedes y ein x, aber für die Ausgangsformel gilt doch dasselbe? Ich hätte jetzt (leider) auf symmetrisch getippt. Oder kann ich mir sowas anhand einem konkreten Beispiel überlegen? Z.B. x=1 und y = 2. Für dieses konkrete Beispiel würde ich auch sagen, dass diese Relation nicht symmetrisch ist. Betrachte ich aber die Variablen, gibt es für $\begin{eqnarray} y \leq x \end{eqnarray}$ genauso viele wahre Aussagen wie für $\begin{eqnarray} x \leq y \end{eqnarray}$ Ok, dann nun ein Versuch zur Transitivität anhand meiner Aufgabe: R={(x,y) x+y=100} $\begin{eqnarray} (x,y),~(y,z)\in R \Rightarrow (x,z)\in R \end{eqnarray}$ x+y=100 und y+z=100 $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ x+z=100 Also somit transitiv? Transitivität habe ich nun glaube ich verstanden! Vielen Dank! Aber die Symmetrie in deiner Aufgabe macht mir noch zu schaffen! Viele Grüße und nochmals Danke
02.11.2010, 09:00	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du darfst jetzt nicht einfach blind die Variablen einsetzen und daraus Symmetrie bzw. Transitivität folgern. Bei der Symmetrie ist nicht gefragt, ob es genausoviele wahre Aussagen für $\begin{eqnarray} y\leq x \end{eqnarray}$ gibt, vielmehr muss für jedes Zahlenpaar $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ das $\begin{eqnarray} x\leq y \end{eqnarray}$ erfüllt, auch $\begin{eqnarray} y\leq x \end{eqnarray}$ gelten damit die Relation symmetrisch ist, was ja offensichtlich nicht der Fall ist, Gegenbeispiel hast du schon genannt. Dein Nachweis zur Transitivität stimmt auch nicht (deine Relation ist nicht transitiv), du kannst nicht direkt folgern, dass aus $\begin{eqnarray} x+y=100 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y+z=100 \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} x+z=100 \end{eqnarray}$ ist.
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02.11.2010, 09:16	pansox	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast recht. Das hätte ich wohl gerne so einfach gehabt. Ich möchte mich auf jeden Fall recht herzlich bei dir bedanken. Ich denke eine Art "Grundverständnis" ist nun vorhanden. Ich sollte zumindest noch mit transitiven Relationen üben, um die Transitivität besser zu erkennen. Viele Grüße
02.11.2010, 09:20	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Zeit bekommt man auch ein Gespür dafür, ob eine Relation diese Eigenschaften aufweist, bei deiner Relation ist es etwa sehr einfach ein Gegenbeispiel für die Transitivität zu bringen.

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